Dimostralo $e^{-|x|^\alpha}$ è $\lambda^d$ integrabile per ogni $\alpha>0$

Aug 22 2020

L'esercizio chiede di dimostrare che la funzione $x\mapsto e^{-|x|^\alpha}$ a partire dal $\mathbb{R}^d$ per $\mathbb{R}$ è è $\lambda^d$ integrabile per ogni $\alpha>0$, dove $\lambda^d$ indica la misura di Lebesgue attivata $\mathbb{R}^d$. Come suggerimento ci riferiamo a un esercizio precedente in cui abbiamo mostrato che la stessa funzione è attiva$\mathbb{R}$ è $\lambda^1$ integrabile.

Questa domanda utilizza coordinate polari, ma nel mio libro non abbiamo ancora usato questa tecnica. Piuttosto penso che dobbiamo usare il teorema di Tonelli, ma poi come posso mostrare l'integrabilità di ciascuno dei$d$ integrali finiti $\mathbb{R}$?

Risposte

1 D.Thomine Aug 22 2020 at 02:47

Questo può essere fatto con il teorema di Fubini-Tonelli. Permettere$f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ essere una funzione tale che

$$0 \leq f(x_1, \ldots, x_d) \leq \prod_{i=1}^d g_i (x_i)$$

per tutti $(x_i)_{1 \leq i \leq d}$ e alcune funzioni non negative $g_i$. Quindi il teorema di Fubini-Tonelli ci ha permesso di scindere l'integrale di$f$:

$$0 \leq \int_{\mathbb{R}^d} f \ d \lambda^d \leq \prod_{i=1}^d \int_{\mathbb{R}} g_i \ d \lambda^1.$$

Ora è sufficiente trovare una funzione integrabile $g$ tale che $e^{-|x|^\alpha} \leq \prod_{i=1}^d g(x_i)$ ovunque.

La cosa più semplice da provare è prendere $g(x_i) = e^{-c |x_i|^\alpha}$ per qualche costante $c > 0$ (che può dipendere da $d$). Per monotonicità, la disuguaglianza vale se e solo se

$$|x|^\alpha \geq c \sum_{i=1}^d |x_i|^\alpha$$

per tutti $x \in \mathbb{R}^d$. Questo può essere fatto (ad esempio con$c = 1/d$), ma a questo punto ti lascio provare.