Dimostralo $\Pr(X_n = 0 \text{ infinitely often}) = 0$ utilizzando varianza, aspettativa e $X_n ≥ 0$

Question

Ciao, sto davvero lottando con dove andare alla seguente domanda.

DOMANDA:

Permettere $(X_n)_{n\in \mathbb{N}}$ essere una sequenza di variabili casuali definite su uno spazio di probabilità $(\Omega, F, \Pr)$ tale che $X_n ≥ 0,$ per tutti $n \in \mathbb{N}.$ Supporre che $\operatorname{Var}(X_n) ≤ n^{\frac{1}{2}}$ e $E(X_n) = n.$ Dimostralo $\Pr(X_n = 0 \text{ infinitely often}) = 0.$

Sono a conoscenza del lemma Borel-Cantelli (sotto)
Let$(E_n)_{n\in \mathbb{N} }$ essere una raccolta di eventi su uno spazio di probabilità $(Ω, F, Pr)$. Vale quanto segue:

1. Se $\sum^{\infty}_{n=1} \Pr(E_n) <\infty$ poi $\Pr(E_n \text{ occurs infinitely often}) = 0$
2. Se $\sum^{\infty}_{n=1} \Pr(E_n) =\infty$ poi $\Pr(E_n \text{ occurs infinitely often}) = 1$

Sono perso su come usare le informazioni fornite per applicare questo lemma (supponendo che dovrei usare questo lemma?)

Modifica finale:

Grazie per l'aiuto! Questa è la mia risposta finale

$\Pr(X_n = 0 \text{ infinitely often}) = \Pr({\{ \omega | X_n(\omega)=0 \; \forall n \in \mathbb{N}}\}).$

Usa la disuguaglianza di Chebyschev, scegliendo $t$ tale che $ {\{\omega | X_n(\omega)=0 }\}\subseteq {\{\omega | \lvert X_n(\omega) -n \rvert \geqslant t}\}$e quindi il limite risultante è sommabile
Let$t=\frac{n}{2}$ poi
$\Pr(X_n = 0 )\leq \Pr(\lvert X_n -n \rvert \geqslant \frac{n}{2})\leq 4n^{-\frac{3}{2}}.$
Adesso $ \sum^\infty _{n=1} 4n^{-\frac{3}{2}} = 4 \sum^\infty _{n=1} \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}} $ è una serie ap del modulo $\sum^\infty_{n=1}\frac{1}{n^p}$, che converge se $p>1$e diverge altrimenti. Qui,$p=\frac{3}{2}>1$che implica convergenza.
Perciò$\ \sum^\infty _{n=1} 4n^{-\frac{3}{2}} < \infty $.
Così
$\ \sum^\infty_{n=1} \Pr(X_n = 0 )\leq \sum^\infty_{n=1} \Pr(\lvert X_n -n \rvert \geqslant \frac{n}{2})\leq \sum^\infty_{n=1} 4n^{-\frac{3}{2}}<\infty$.
Così$\ \sum^\infty_{n=1} \Pr(X_n = 0 )<\infty$.

Dal primo Lemma Borel-Cantelli, se $\ \sum^\infty_{n=1}\Pr(E_n) <\infty \text{ then } \Pr(\{E_n \text{ occurs infinitely often }\})=0 $.

Perciò $\sum^\infty_{n=1} \Pr(X_n = 0 )<\infty \Rightarrow \Pr(\{X_n=0 \text{ occurs infinitely often }\})=0$ come richiesto.

Answer 1

$\displaystyle p[X_n = 0] \le p\left[|X_n-n| \ge {n \over 2}\right] \le 4 {\sqrt{n} \over n^2}$ di Chebyshev.