Dimostrare che esiste un limite equivale a mostrare che il suo valore è reale (finito)?

Aug 18 2020

Sto studiando l'analisi del Tao I. La mia domanda nasce dalla dimostrazione dei risultati usando la legge limite, questo è un esempio tratto dalla proposizione 7.2.14 (c):

c) Let $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ essere una serie di numeri reali e lascia $k\geq 0$essere un numero intero. Se una delle due serie$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ e $\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$ sono convergenti, allora lo è anche l'altro, e abbiamo la seguente identità $$\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n +\sum\limits_{n=m+k}^{\infty}a_n$$

Il mio tentativo di provare: Let $S_N=\sum\limits_{n=m}^{N}a_n$ e $T_N=\sum\limits_{n=m+k}^{N}a_n$, Poi abbiamo $S_N=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}a_n+T_N$ per tutti $N\geq m+k$, (l'affermazione vale anche quando $N<m+k$ con $T_N=0$ e $S_N$ ha zero termini ridondanti dopo l'indice $N$ ), prendendo il limite come $N\to \infty$, noi abbiamo $$\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N$$ $$=\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}+\lim_{N\to\infty}T_N,$$ poiché la somma finita è indipendente da $N$.

Ora, supponi $\sum\limits_{n=m}^{\infty}a_n$ converge a $L$ , poi $\lim_{N\to\infty}S_N$ esiste ed è uguale $L$, e lascia $\sum\limits_{n=m}^{m+k-1}=M$, poiché le somme finite sono convergenti, la mia domanda è: possiamo usare i due risultati precedenti per concludere che $\lim_{N\to\infty}T_N$ esiste ed è uguale $L-M$.

O dovrei provarlo $S_N$ è una sequenza di Cauchy se e solo se $T_N$è? Ancora una volta, non sto cercando una soluzione o una verifica di prova, la mia domanda come dice il titolo: sta dimostrando l'esistenza di un limite equivalente a mostrare che il suo valore è finito o no?

In termini più logici è il seguente $equivalence$ affermazione vera: il limite esiste $\longleftrightarrow$ valore del limite $\in \mathbb{R}$.

Se sì, perché non possiamo presumere che i limiti esistano, quindi provare a calcolarne il valore e, se è reale, concludere che esiste, ad esempio nella valutazione $\lim\limits_{n\to\infty}x^n$ e uguale $L$, poi $xL=\lim\limits_{n\to\infty}x^{n+1}=L$ , Poi abbiamo $(x-1)L=0$. Da$x=1$ per ogni reale $x$ è assurdo, lo concludiamo $L=\lim\limits_{n\to\infty}x^n=0$ quando $x\neq 1$. Tuttavia sappiamo che il ragionamento di cui sopra è falso poiché il limite non esiste in primo luogo.

Risposte

user2661923 Aug 19 2020 at 07:00

Prima di tutto, ho votato positivamente; bel lavoro, ben mostrato.

Vedo alcune aree in cui la tua analisi deve essere migliorata:

(1)
Avresti dovuto esprimere
$$ \sum_{n=m}^{\infty} a_n \text{ as } \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n + \sum_{n=m+k}^{\infty} a_n. $$

Questo è diverso da quello che hai scritto.

(2)
Continuando con il tuo approccio qui (che mi piace), con la correzione di cui sopra in atto,
il primo termine sull'RHS:$\sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$
è una somma di un numero fisso di termini (e quindi finito), poiché$m$ e $k$ sono (presumo) numeri fissi.

Pertanto, utilizzando il tuo approccio, l'avrei scritto
$S = \sum_{n=m}^{m+k-1} a_n$, con $S$ indipendente da$N$,
e poi scritto$T_N = \sum_{n=m+k}^{N} a_n. $

Quindi, per semplicità di notazione, avrei scritto:
Let$T = \lim_{N \to \infty} T_N.$

(3)
Allora il problema si ridurrebbe a dimostrarlo$T$ è finito (piuttosto che infinito) se e solo se $(T + S)$ è finito.

Questo è il punto centrale del problema, ed è qui che vuoi che la tua intuizione si espanda. Quanto sopra se e solo se l'affermazione dovrebbe essere semplice da dimostrare utilizzando il$\epsilon, \delta$ definizione dalla tua classe in sommatoria infinita.