Esiste un polinomio non ciclico positivo$f\left(a,b,c\right)$affinché$f^{2}\left(a,b,c\right)\geq f\left (b,c,a\right)f\left(c,a,b\right).$
La mia congettura / Dati tre numeri positivi$a, b, c$. Esiste un polinomio non ciclico positivo$f\left ( a, b, c \right )$affinché$$f^{2}\left ( a, b, c \right )\geq f\left ( b, c, a \right )f\left ( c, a, b \right )$$
Il mio ha ragione? Ho scoperto che esiste un polinomio non ciclico$f\left ( a, b, c \right )= a- b\neq 0$, che è.$$\left ( a- b \right )^{2}\geq \left ( b- c \right )\left ( c- a \right )$$perché$$\left ( a- b \right )^{2}- \left ( b- c \right )\left ( c- a \right )= \left ( a+ b- 2c \right )^{2}+ 3\left ( b- c \right )\left ( c- a \right )\geq 0$$
Risposte
Lascia che ci sia tale$f$.
Quindi, abbiamo$$f(a,b,c)^2\geq f(b,c,a)f(c,a,b)$$e$$f(b,c,a)^2\geq f(c,a,b)f(a,b,c),$$che dà$$f(a,b,c)^2f(b,c,a)^2\geq f(a,b,c)f(b,c,a)f(c,a,b)^2$$o$$f(a,b,c)f(b,c,a)\left(f(a,b,c)f(b,c,a)-f(c,a,b)^2\right)\geq0$$e da allora$$f(a,b,c)f(b,c,a)>0,$$otteniamo$$f(a,b,c)f(b,c,a)-f(c,a,b)^2\geq0,$$che dà$$f(a,b,c)f(b,c,a)=f(c,a,b)^2,$$Allo stesso modo$$f(a,b,c)f(c,a,b)=f(b,c,a)^2$$e$$f(c,a,b)f(b,c,a)=f(a,b,c)^2.$$
La prima e la seconda delle tre ultime uguaglianze danno:$$(f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)(f(b,c,a)-f(c,a,b))=0$$o$$f(b,c,a)=f(c,a,b)$$e analogamente otteniamo:$$f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,a,b),$$che dà quello$f$è un ciclico, che è una contraddizione.
Vediamo che questo ragionamento funziona per qualsiasi funzione positiva$f$di tre variabili.