Esistenza di limiti finiti di moduli quasi coerenti su uno schema
Definizione di un modulo quasi coerente$\mathcal{M}$su uno schema$X$essere una famiglia compatibile di moduli$(\mathcal{M}(x))_{x \in X(A), A \in \textbf{Rings}}$(come in here ), c'è un modo semplice per mostrare l'esistenza di limiti (finiti) (e che forma una categoria abeliana)?
Un modo possibile, ovviamente, dovrebbe essere quello di mostrare che questa definizione dà origine a una categoria equivalente alla categoria dei fasci di moduli quasi coerenti sul piccolo sito di Zariski associato a$X$, ma sembra una soluzione piuttosto sporca.
Il problema, immagino, è che l'acquisizione di pullback di fasci di moduli (generalmente) non commuta con l'assunzione di limiti in modo che il limite non sia definito "a livello di fibra"; colimits funziona bene esattamente per questo motivo.
Un altro argomento che mi ha spiegato un mio amico sembra essere che, denotando la categoria di moduli sopra definita come$\textbf{Mod}(X)$, uno ha
$$\textbf{Mod}(X) = \varprojlim_{A \in \textbf{Aff}/X} \textbf{Mod}(A)$$
dove il ($2$-)il limite è preso in$(2,1)$-categorie di categorie, funtori e isomorfismi naturali.
Ora l'argomento sarebbe quello$\textbf{Mod}(A)$è una categoria presentabile localmente, (certi?) i limiti delle categorie presentabili localmente sono presentabili localmente, e le categorie presentabili localmente ammettono limiti arbitrari.
Mi stavo ancora chiedendo se non ci sarebbe stato un modo più elementare, ad esempio, per costruire direttamente kernel e prodotti finiti di moduli quando definiti in questo modo.
Gradirei qualsiasi pensiero!
//Modifica: Ok, un altro modo sembra essere quello di mostrare prima che si possono incollare moduli quasi coerenti lungo i rivestimenti Zariski e poi fare tutto localmente. Immagino che per me vada bene, ma sarei comunque interessato a vedere altri argomenti elementari se qualcuno ne ha uno!
Risposte
Ecco la dichiarazione precisa a cui si allude nei commenti:
Permettere$C = \lim_i C_i$essere un limite di categorie con proiezioni$\pi_i : C \to C_i$. Permettere$\{X_j\}_j$essere un diagramma in$C$. Se per ogni$i$il diagramma indotto$\{\pi_i(X_j)\}_j$in$C_i$ha un limite$X_i$, e i funtori di transizione$C_i \to C_{i'}$inviare$X_i \mapsto X_{i'}$per ogni morfismo$i \to i'$nella categoria di indicizzazione, quindi il diagramma originale$\{X_j\}_j$in$C$ammette un limite$X$tale che$\pi_i(X) = X_i$per ogni$i$.
Ad esempio, se$X$è uno schema, quindi quasi coerente$O_X$-modules possono essere definiti come hai fatto tu, tranne per il fatto che puoi richiedere le mappe$Spec(A) \to X$essere immersioni Zariski (dal$X$è uno schema). Quindi i funtori di transizione sono pullback lungo immersioni aperte che sono esatte quindi preservano limiti finiti.
In alternativa per discesa, puoi prendere una copertura di Zariski$X$per affini$U_i$, poi$Mod(X)$sarà un limite di$Mod(U_i)$e degli incroci (simile alla solita condizione di covone tranne per il fatto che devi andare agli incroci a 3 vie poiché è un covone di categorie). Ancora una volta puoi applicare lo stesso argomento per dire che i limiti verranno calcolati su$U_i$'S.
Quindi ero l'amico di Luxus a cui originariamente aveva posto questa domanda, e avevo alcune preoccupazioni, in particolare perché ho dato la stessa risposta di Riza, poi mi sono reso conto che dava risposte errate se segui la costruzione diretta di nLab. Il punto è che il limite di un diagramma nel limite deve essere calcolato prima in modo puntuale nel limite lassista come sopra, quindi devi applicare un coreflector nel limite effettivo.
Ad esempio, se ho un quadrato cartesiano di categorie presentabili localmente
$$\begin{matrix} P&\xrightarrow{f^\prime_!}&C_1\\ g^\prime_!\downarrow &\ulcorner&\downarrow g_!\\ C_2&\xrightarrow{f_!}&C_0 \end{matrix}$$
e un diagramma$d:D\to P$, posso calcolare$P$come colocalizzazione del limite lassista di questo diagramma (la categoria delle sezioni non necessariamente cartesiane della fibrazione cartesiana associata sulla categoria span$\operatorname{Span}$). Indichiamo questo limite lassista con$L$. Quindi abbiamo un'aggiunta$P\leftrightarrows L$, dove la sinistra è aggiunta$P\to L$è pienamente fedele. Questo ci dice che il limite in$P$viene calcolato come l'immagine sotto il coreflector$L\to P$del limite in$L$, che in realtà è proprio il limite puntuale insieme alle mappe di collegamento
$$g_! \lim (f^\prime_! \circ d)\to \lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow f_!\lim(g'_!\circ d).$$
Quindi, per formare il vero limite, devo applicare il coreflector a questo diagramma formale (visto come un oggetto del limite lassista).
Questo ti dà una formula per calcolare ora il limite di un tale diagramma, ma l'effettiva esistenza di limiti deriva dal fatto che questo prodotto in fibra è presentabile (oltre al fatto che i prodotti arbitrari sono ancora presentabili).
Per finire di elaborare l'esempio, il coreflector ti dà quindi il prodotto in fibra$P$
$$ \lim(f^{\prime \ast}\lim (f^\prime_! \circ d)\to f^{\prime\ast}g^\ast\lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=g^{\prime\ast}f^\ast\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow g^{\prime\ast}\lim(g'_!\circ d)).$$
ma affinché questa formula avesse un senso, dovevi prima sapere che limiti in$P$esisteva, e questo perché$\operatorname{Pr}^L$ammette limiti che concordano con i limiti in$\mathbf{Cat}$.
Nota: in$\operatorname{Pr}^L$piuttosto che la convenzione algebro-geometrica, perché in questo caso è più chiara.
Modifica: sembra che la domanda di Luxus qui fosse leggermente diversa da quella di cui abbiamo discusso in privato. Errore mio. La risposta di Riza è corretta per le coperture piatte (questo è un teorema, ma è del tutto ovvio per le immersioni aperte, come desiderato).