Esistono sistemi caotici che non possono essere previsti nemmeno al limite di condizioni iniziali di precisione infinita e risorse infinite?
Ho una comprensione da profano della teoria del caos , che sembra indicare che utilizzando condizioni iniziali di precisione finita e risorse di calcolo finite, i sistemi caotici non possono essere previsti dopo un periodo di tempo.
La mia domanda è cosa succede nel limite dell'aumento della precisione delle condizioni e delle risorse iniziali all'infinito: il sistema rimane caotico o anche la finestra di previsione diverge all'infinito?
Considerare in particolare le seguenti condizioni:
Abbiamo un sistema caotico.
Calcoliamo la finestra temporale della previsione $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ dato un margine di errore finito $e$, per una precisione finita delle condizioni iniziali $p$e un computer con memoria finita $m$ operando a velocità finita $s$.
Calcoliamo la stessa finestra temporale di previsione $t_\text{pred}(e,p,m,s)$ quando precisione, memoria e velocità divergono all'infinito insieme (ma $e$ rimane finito).
Se per tutti i sistemi caotici la finestra temporale diverge all'infinito, la risposta a questa domanda è no .
Se viene trovato un sistema dove $t_\text{pred}$può rimanere finito, quindi la risposta a questa domanda è sì .
Poiché questa domanda sembra molto lontana dall'essere pratica, aggiungerò una motivazione: sento che la risposta a questa domanda ha un impatto importante in teologia. Vale a dire, se la risposta è sì, allora ciò precluderebbe logicamente la possibilità di un dio non interventista e onnisciente (futuro incluso) che ha progettato l'universo con uno scopo, perché non sarebbe in grado di fare questi calcoli anche se lui / lei era infinitamente potente.
Risposte
Una proprietà cruciale dei sistemi caotici è che sono deterministici: non vi è alcun elemento di casualità nel modello. Le condizioni iniziali determinano esattamente il futuro del sistema.
Se simulo due volte un modello caotico con le stesse condizioni iniziali¹ su un computer reale, ottengo esattamente lo stesso risultato. Ciò differisce solo dalla vera soluzione per le mie condizioni iniziali a causa della precisione finita dell'aritmetica in virgola mobile (e, poiché il sistema è caotico, questa differenza può essere grande) ². E naturalmente, nel caso puramente ipotetico in cui voglio simulare un sistema reale isolato per il quale ho un modello esatto, ho il problema di non poter rappresentare perfettamente le mie condizioni iniziali reali come numeri in virgola mobile.
Se ho a disposizione una precisione arbitraria e infinite risorse di calcolo, nonché una perfetta conoscenza delle condizioni iniziali, posso prevedere perfettamente un sistema caotico semplicemente simulandolo. Per un sistema a tempo discreto, le uniche ragioni per cui ho bisogno di memoria e velocità di calcolo infinite sono la memorizzazione e il lavoro con numeri di precisione arbitraria³ (e ovviamente se voglio andare all'infinito nel futuro). Per un sistema a tempo continuo, c'è un altro motivo per cui ho bisogno di una velocità di calcolo infinita, vale a dire per eseguire l'integrazione numerica con passi temporali arbitrariamente fini.
¹ e le stesse regole dell'aritmetica in virgola mobile
² per un sistema a tempo continuo, anche l'imprecisione intrinseca dell'integrazione numerica aggiunge un errore
³ da quando finisco con infinitamente molte cifre