Gli anelli compatti S-unital sono profinite
È noto che gli anelli unital topologici di Hausdorff compatti sono profiniti. La dimostrazione generalizza agli anelli (sinistro o destro) s-unital (cioè anelli tali che per tutti$r\in R$ noi abbiamo $r\in Rr$ o per tutti $r\in R$ noi abbiamo $r\in rR$).
C'è un riferimento per questo fatto più generale? C'è un'ulteriore generalizzazione (cioè un'interessante classe di anelli, contenente anelli s-unitali, per i quali il compatto Hausdorff implica profinite)?
(Si noti che questo non è vero per tutti gli anelli, dato che qualsiasi gruppo abeliano di Hausdorff compatto $A$, possiamo dotare $A$ con moltiplicazione zero, rendendolo un anello topologico di Hausdorff compatto.)
Risposte
Questo è essenzialmente risposto in una delle risposte a Ogni anello topologico compatto è un anello profinito? .
Se un anello compatto $R$ nessuno dei due ammette alcun elemento $r\neq 0$ con $rR=0$o la doppia condizione sinistra-destra allora è profinita. Questa è la condizione che la mappa di moltiplicazione induce e ingloba$R$ negli endomorfismi della Pontryagin duale del suo gruppo additivo che è ciò che usi per dimostrare la totale disconnessione.
Vedere Thm 3 di On Compact Topologica Rings. di Hirotada Anzaihttps://projecteuclid.org/euclid.pja/1195573244