Integrale di Riemann e integrale di Cauchy

Question

Fai il seguente esercizio tratto dal libro:

http://93.174.95.29/main/DD7D07B152D8622B441B7E63F9D4461E

https://libgen.lc/ads.php?md5=091431F03323DE6C347E43D0475FC387

(vedi pagina 14).

Considera la funzione definita su$[-1,0]$di$f(x) = 1/\sqrt(-x)$Su$[-1,0)$e,$f(0) =0$. Poiché questa funzione non è limitata$[-1,0]$, l'integrale di Riemann non esiste. Mostra che, tuttavia, l'integrale di Cauchy di questa funzione su questo intervallo esiste.

Per la parte di Riemann, va bene. Per la parte di Cauchy, vorrei mostrarlo per qualsiasi sequenza$(x_k)_{1\le k\le n}$tale che$-1=x_0<x_1<\dots<x_n=0$, noi abbiamo$$\sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}<\infty$$quando$k\to \infty$.

Imbroglio e lo scrivo$$\sum_{k=1}^n\frac{x_k-x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}<\int_{-1}^0\frac{1}{\sqrt{x}}=2$$e concludo.

Quale sarebbe il modo giusto per farlo?

Answer 1

Gli integrali di Riemann e di Cauchy esistono entrambi$[-1,-c]$dove$c > 0$, da$f$è limitato e continuo su tale intervallo.

Per ogni$\epsilon > 0$lì esiste$\delta > 0$tale che per una partizione$P: -1 = x_0 < x_1 < \ldots < x_{n-1} = -c$insieme a$\|P\| < \delta $, noi abbiamo

$$2(1- \sqrt{c})- \epsilon = \int_{-1}^{-c}\frac{dx}{\sqrt{-x}}- \epsilon \leqslant \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}\leqslant \int_{-1}^{-c}\frac{dx}{\sqrt{-x}}+ \epsilon = 2(1- \sqrt{c})+ \epsilon$$

Insieme a$x_n = 0$noi abbiamo

$$\sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}= \frac{0- (-c)}{\sqrt{c}}+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}= \sqrt{c}+ \sum_{k=1}^{n-1} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}}$$

Così,

$$-\epsilon/2 \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -(2 - \sqrt{c}) \leqslant \epsilon/2,$$

e quando la norma della partizione completa$P': -1 = x_0 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = 0$è sufficientemente piccolo abbiamo entrambi$\|P\| < \delta$e$\sqrt{c} < \epsilon /2 $

$$\left| \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -2 \right| \leqslant \left| \sum_{k=1}^{n} \frac{x_k - x_{k-1}}{\sqrt{-x_{k-1}}} -(2-\sqrt{c}) \right| + \sqrt{c}\leqslant \sqrt{c} + \epsilon/2 < \epsilon$$