L'importanza dell'approssimazione $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $

Aug 17 2020

Per dimostrare che il generatore infinitesimale del moto browniano è $\frac{1}{2}\Delta$, in questa risposta , prima scrive l'equazione$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ quindi si ricava la seguente approssimazione: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ Quindi si sostiene che "Da (1) lo vediamo $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ è la soluzione (unica) dell'equazione del calore "

Come discusso qui , non possiamo semplicemente sostituire l'approssimazione nell'equazione del calore. Se è così,

  1. Perché l'autore di quel post ha fatto questa approssimazione? come ha usato questa approssimazione per la dimostrazione? se non l'ha usato,
  2. Qualcuno può spiegare di più il suo argomento che: "Da (1) lo vediamo $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ è la soluzione (unica) dell'equazione del calore ... "?

Risposte

2 snar Aug 16 2020 at 23:37

La tua confusione potrebbe sorgere perché pensi che in qualche modo l'approssimazione serva a costruire una soluzione all'equazione del calore. Quello che sta succedendo è che inizi con una soluzione a qualche equazione differenziale parziale (PDE) e l'approssimazione serve a identificare questa PDE come l'equazione del calore. Nessuna prova è stata fornita in nessuno dei post che hai collegato. Sono solo argomenti formali per aiutare a sviluppare l'intuizione.

Inizia con la tua seconda domanda. L'equazione (1) è$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$Per definizione ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ Ambientazione $u(t,x) = P_t f(x)$ nell'equazione (1), abbiamo $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ Qui, $A$ è un operatore differenziale, quindi $u(t,x)$risolve alcune equazioni differenziali con alcune condizioni iniziali. Quale equazione differenziale è?

Per indovinare quale equazione differenziale è, l'approssimazione$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$si usa. Inserendolo direttamente nel lato sinistro di ($\spadesuit$), trovate $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ Sulla base di questa relazione, puoi indovinare cosa $A$ è?