L'importanza dell'approssimazione $\mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $
Per dimostrare che il generatore infinitesimale del moto browniano è $\frac{1}{2}\Delta$, in questa risposta , prima scrive l'equazione$$ \frac{d}{dt} P_t f(x) = A P_tf(x), \tag{1} $$ quindi si ricava la seguente approssimazione: $$ \mathbb{E}^x(f(B_t)) \approx f(x)+ \frac{t}{2} f''(x) $$ Quindi si sostiene che "Da (1) lo vediamo $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ è la soluzione (unica) dell'equazione del calore "
Come discusso qui , non possiamo semplicemente sostituire l'approssimazione nell'equazione del calore. Se è così,
- Perché l'autore di quel post ha fatto questa approssimazione? come ha usato questa approssimazione per la dimostrazione? se non l'ha usato,
- Qualcuno può spiegare di più il suo argomento che: "Da (1) lo vediamo $u(t,x) := \mathbb{E}^x(f(B_t))$ è la soluzione (unica) dell'equazione del calore ... "?
Risposte
La tua confusione potrebbe sorgere perché pensi che in qualche modo l'approssimazione serva a costruire una soluzione all'equazione del calore. Quello che sta succedendo è che inizi con una soluzione a qualche equazione differenziale parziale (PDE) e l'approssimazione serve a identificare questa PDE come l'equazione del calore. Nessuna prova è stata fornita in nessuno dei post che hai collegato. Sono solo argomenti formali per aiutare a sviluppare l'intuizione.
Inizia con la tua seconda domanda. L'equazione (1) è$$\frac{d}{dt}P_t f(x) = A P_t f(x).$$Per definizione ,$P_t f(x) = \mathbb{E}^x [f(B_t)].$ Ambientazione $u(t,x) = P_t f(x)$ nell'equazione (1), abbiamo $$\frac{d}{dt} u(t,x) = A u(t, x). \tag{$\ spadesuit$}$$ Qui, $A$ è un operatore differenziale, quindi $u(t,x)$risolve alcune equazioni differenziali con alcune condizioni iniziali. Quale equazione differenziale è?
Per indovinare quale equazione differenziale è, l'approssimazione$u(t,x) \approx f(x) + t f''(x)/2$si usa. Inserendolo direttamente nel lato sinistro di ($\spadesuit$), trovate $$\frac{d}{dt} u(t,x) = \frac{d}{dt}\left(f(x) + t\frac{f''(x)}{2}\right)=\frac{f''(x)}{2}=Au(t,x).$$ Sulla base di questa relazione, puoi indovinare cosa $A$ è?