La visualizzazione di uno spazio vettoriale normato è la somma diretta di un sottospazio chiuso e di un sottospazio unidimensionale.

Question

Di seguito è riportato l'esercizio 7 dagli spazi di Banach del chaper IV nell'analisi reale e funzionale di Lang:

Permettere $F$ essere un sottospazio chiuso di uno spazio vettoriale normato $E$, e lascia $v\in E, v\notin F$. Dimostralo$F+ \Bbb{R}v$è chiuso. Se$E=F+ \Bbb{R}v$, dimostralo $E$ è la somma diretta di $F$ e $\Bbb Rv$ (intendendo la mappa $\phi(f,rv)= f+rv$ è un isomorfismo toplineare da $F\times \Bbb Rv$ per $E$, cioè un omeomorfismo e un isomorfismo).

Posso provare $F+ \Bbb{R}v$ è chiuso guardando lo spazio quoziente $E/F$. Come l'immagine di$F+ \Bbb{R}v$ sotto la mappa del quoziente $\rho$ è omeomorfico a $\Bbb R$, viene automaticamente chiuso $E/F$, la cui immagine inversa è chiusa in $E$ per continuità di $\rho$. Ma$\rho^{-1}(\rho(F+ \Bbb{R}v))=F+ \Bbb{R}v$, dimostrando così la vicinanza di $F+ \Bbb{R}v$. Ma sono bloccato nel mostrare quest'ultima affermazione. Basta dimostrarlo$\phi$ è una mappa aperta, che equivale a mostrare $U_1+U_2$ è aperto se $U_1$ e $U_2$ sono sottoinsiemi aperti di $F$ e $\Bbb Rv$, rispettivamente. Lang afferma che questa è una facile conseguenza del teorema della mappatura aperta, che è un risultato più generale. Tuttavia, ciò non presuppone la completezza di$E$? Cerco di usare la tecnica dello spazio quoziente, ma non sembra applicarsi qui come$U_1+U_2$non ha bisogno di essere saturato. Come devo procedere? Grazie in anticipo.

Answer 1

Permettere $\phi:F\times\mathbb{R}v\to E$ essere definito da $\phi(f,rv):=f+rv$.

È continuo poiché è la composizione dell'addizione e della moltiplicazione scalare. È chiaramente lineare. È su per ipotesi, e da allora$v\notin F$: $$f_1+r_1v=f_2+r_2v\implies f_1-f_2=(r_2-r_1)v$$

Quindi $\phi$ è invertibile e ciò che resta da mostrare è $f+rv\mapsto(f,rv)$ è continuo.

Dal teorema di Hahn-Banach, da allora $F$ è chiuso, c'è un funzionamento continuo $\psi$ di norma unitaria tale che $\psi F=0$ ma $\psi(v)=t\ne0$. Permettere$\pi(f+rv):=\psi(f+rv)v/t=rv$. Poi$\pi$ è una proiezione continua con l'immagine $\mathbb{R}v$ e kernel $F$, questo è \begin{align*}\|rv\|&=\|\pi(f+rv)\|\le c\|f+rv\|\qquad(c=\|\psi\|\|v\|/t)\\ \|f\|&\le\|f+rv\|+\|rv\|\le(1+c)\|f+rv\|\end{align*} Ne consegue che $E=F\oplus\mathbb{R}v$.