Le prove delle leggi limite e delle regole derivate sembrano presumere tacitamente che il limite esista in primo luogo
Supponiamo che stavo cercando di trovare il derivato di$x^2$utilizzando la differenziazione dai principi primi. Il solito argomento sarebbe più o meno questo:
Se$f(x)=x^2$, poi\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align}Come$h$approcci$0$,$2x+h$approcci$2x$, così$f'(x)=2x$.
In tutta questa discussione, l'ho presunto$$ \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} $$era in realtà un oggetto significativo, che il limite esisteva effettivamente. Non capisco davvero cosa giustifichi questa ipotesi. Per me, a volte il presupposto che un oggetto sia ben definito può portare a trarre conclusioni errate. Ad esempio, supponendo che$\log(0)$ha senso, possiamo concluderlo$$ \log(0)=\log(0)+\log(0) \implies \log(0)=0 \, . $$Quindi l' ipotesi che$\log(0)$rappresentato qualcosa di significativo ci ha portato a concludere erroneamente che fosse uguale a$0$. Spesso, per dimostrare che un limite esiste, lo manipoliamo fino a poterlo scrivere in una forma familiare. Questo può essere visto nelle dimostrazioni della regola della catena e della regola del prodotto. Ma spesso sembra che quella manipolazione possa essere giustificata solo se sappiamo che il limite esiste in primo luogo! Allora, cosa sta succedendo davvero qui?
Per un altro esempio, la regola della catena è spesso indicata come:
Supporre che$g$è differenziabile a$x$, e$f$è differenziabile a$g(x)$. Quindi,$(f \circ g)$è differenziabile a$x$, e$$ (f \circ g)'(x) = f'(g(x))g'(x) $$
Se la prova che$(f \circ g)$è differenziabile a$x$equivale semplicemente a calcolare la derivata usando la definizione del limite, poi di nuovo mi sento insoddisfatto. Questo calcolo non fa di nuovo l'ipotesi che$(f \circ g)'(x)$ha senso in primo luogo?
Risposte
Proposta : Let$c \in \mathbb{R}$. Supponiamo$f$e$g$sono definiti e uguali tra loro su qualche palla aperta forata$(c - \delta) \cup (c + \delta)$di$c$, dove$\delta > 0$. Quindi$\lim_{x \to c} f(x)$esiste se e solo se$\lim_{x \to c} g(x)$esiste. E se uno dei due limiti esiste, esiste anche l'altro, e sono entrambi uguali.
Schizzo della dimostrazione : Osserva che la definizione di limite in un punto$c$si occupa solo di punti vicini a$c$ma non uguale a$c$. Quindi qualunque sia il valore di$f$o$g$a$c$, o del resto se sono definiti o meno lì, non importa. Da quando$f$e$g$sono uguali in punti vicini a$c$ma non uguale a$c$, la nostra istruzione limite su entrambe le funzioni in$c$deve quindi valere anche per l'altro.$\square$
Questo giustifica i vari calcoli di limite che facciamo spesso, come quello che hai mostrato. In effetti, esaminiamo passo dopo passo il tuo esempio.
Se$f(x)=x^2$, poi\begin{align} f'(x) &= \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} \\ &= \lim_{h \to 0} 2x+h \end{align}Come$h$approcci$0$,$2x+h$approcci$2x$, così$f'(x)=2x$.
Cosa significano o implicano realmente queste sequenze di calcoli? Bene, nell'ultimo passaggio/uguaglianza, abbiamo calcolato$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, che siamo d'accordo esiste ed è uguale a$2x$. Poiché la funzione$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$è uguale a$2x + h$in qualche quartiere perforato di$0$, possiamo ora utilizzare la proposizione per concluderlo$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$è uguale a$\displaystyle \lim_{h \to 0} 2x + h$, che è uguale$2x$. Quindi è giustificato passare dalla riga (3) alla riga (2). Successivamente, la funzione$\displaystyle \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$è uguale a$\displaystyle \frac{2hx + h^2}{h}$in qualche quartiere perforato di$0$, quindi ancora una volta possiamo usare la proposizione per giustificare il passaggio dalla riga (2) alla riga (1).
Quindi abbiamo ragionato in qualche modo a ritroso, ma in pratica questo non è necessario nei normali calcoli dei limiti. Il nostro ragionamento "funziona" anche quando il limite non esiste. Se alla fine arriviamo a un limite che esiste, allora necessariamente possiamo lavorare a ritroso e garantire che il primo limite iniziale esiste; e se alla fine si arriva ad un limite che non esiste, allora necessariamente il primo limite iniziale non può esistere, altrimenti si potrebbe scendere lungo la serie di equivalenze garantite dalla proposizione per garantire che il limite finale esista.
Quindi in tutti i casi le cose "funzionano bene". La cosa importante da notare è semplicemente che abbiamo determinate equivalenze logiche ad ogni passo: il limite esiste in qualche passo se e solo se esiste in un passo precedente o successivo.
Hai ragione sul fatto che non ha molto senso scrivere$\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$a meno che non sappiamo già che il limite esiste, ma in realtà è solo un problema di grammatica. Per essere precisi, si potrebbe prima dire che il quoziente di differenza può essere riscritto$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h$, e poi usa il fatto che$\lim\limits_{h\to 0}x=x$e$\lim\limits_{h\to 0}h=0$così come la legge del multiplo costante e la legge della somma per i limiti.
Aggiungendo all'ultima frase: la maggior parte delle proprietà familiari dei limiti sono scritte "all'indietro" in questo modo. Cioè, dice la "legge della somma limite".$$\lim\limits_{x\to c}(f(x)+g(x))=\lim\limits_{x\to c}f(x)+\lim\limits_{x\to c}g(x)$$ fino a quando$\lim\limits_{x\to c}f(x)$e$\lim\limits_{x\to c}g(x)$esiste . Naturalmente, se non esistono, l'equazione che abbiamo appena scritto non ha significato, quindi dovremmo davvero iniziare con quell'affermazione.
In pratica, di solito qui si può essere un po' casuali, se non altro per salvare il conteggio delle parole. In una lezione di analisi introduttiva, tuttavia, probabilmente vorrai essere il più attento possibile.
Le altre risposte vanno benissimo; solo una prospettiva che può salvarti la giornata in situazioni in cui l'esistenza del limite è effettivamente un punto critico.
La definizione cruciale è quella di limsup e liminf: questi sono sempre ben definiti, e tutto ciò che devi sapere al momento sono le seguenti due proprietà:
- $\liminf_{x \to x_0} f(x) \le \limsup_{x\to x_0} f(x) $
- Il limite di$f$esiste se e solo se$\liminf_{x \to x_0} f(x) = \limsup_{x\to x_0} f(x) $, e in questo caso il limite coincide con questo valore.
Ora immagina di fare il tuo calcolo due volte: in primo luogo, calcoli il liminf; quindi calcoli il limsup. In entrambi i calcoli, non appena arrivi a qualcosa che ha effettivamente dei limiti (come$2x+h$), a causa della proprietà (2) puoi dimenticare la storia inf/sup e calcolare semplicemente il limite.
Poiché con alcune manipolazioni si arriva a qualcosa che ha effettivamente un limite, entrambi i calcoli daranno lo stesso risultato e, a causa di nuovo della proprietà (2), il limite esiste e coincide con il valore appena calcolato.
Ora questa non è proprio la cosa che dovresti fare se stai facendo un'analisi introduttiva e non conosci liminf e limsup: le proprietà formali di questi due sono leggermente diverse dalle proprietà formali di lim e potresti finire con un errore. Ma finché non "tocchi" il limite e fai solo qualche manipolazione all'interno di theimit, lo stesso argomento continuerà: se finisci con un risultato ben definito, è il limite :)
Quello che abbiamo qui dovrebbe davvero essere interpretato come affermazioni multiple:
(1.) Se$ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $esiste allora$ \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}$esiste ed è uguale a$\lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h} $.
(2.) Se$ \lim_{h \to 0} [2x + h] $esiste allora$ \lim_{h \to 0} \frac{2hx + h^2}{h}$esiste ed è uguale a$\lim_{h \to 0} [2x + h]$.
(3.) Se$ \lim_{h \to 0} 2x$esiste allora$ \lim_{h \to 0} [2x + h]$esiste ed è uguale a$ \lim_{h \to 0} 2x$.
(4.)$ \lim_{h \to 0} 2x$esiste ed è uguale a$ 2x $.
Si noti che una volta che abbiamo (4.) la parte "se" (condizionale) di (3.) è soddisfatta e così via fino a (1.). Puoi vedere che supporre che il limite esista nelle affermazioni da 1 a 3 non è un problema perché non hai usato quell'ipotesi per dimostrare che lo fa effettivamente. Sarebbe una logica circolare e non va bene.
Il tuo esempio di log è diverso da questo in quanto non hai un'istruzione che assume il ruolo dell'istruzione (4.) sopra, che ti consentirebbe di sfuggire al condizionale. L'hai solo dimostrato$\log(0) = 0$SE$\log(0)$esiste, non quello$\log(0)$esiste! Questa di per sé non è una conclusione errata.
Se vuoi essere più preciso potresti scrivere:
$f'(x) = \lim_{h→0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$se il limite esiste
$= \lim_{h→0} (2x+h)$se il limite esiste
$= 2x$.
Ciò significa che ogni riga vale solo "se esiste il limite". Ma nella maggior parte dei casi non dobbiamo preoccuparci di farlo per due motivi:
Di solito è abbastanza facile aggiungere mentalmente tali condizioni e verificare che non abbiamo mai fatto affidamento sull'esistenza del limite.
Se permettiamo alle espressioni di raggiungere un "valore indefinito" e definiamo che ogni espressione con una sottoespressione "non definita" è essa stessa indefinita, allora non dobbiamo nemmeno scrivere la condizione "se il limite esiste"! Se il limite non è definito, allora il "$\lim \cdots$" l'espressione avrebbe semplicemente valore "non definito", che non porterà a conclusioni errate.
La derivata non esiste se non esiste il limite del quoziente differenziale.
La "legge limite" che dice che il limite di una somma di due funzioni è uguale alla somma dei due limiti separati non è applicabile a meno che non esistano i due limiti separati. Notare che
Non ci sono casi in cui esistono i due limiti separati e il limite della somma no. Se esistono i due limiti separati, allora esiste anche il limite della somma.
Tuttavia, ci sono casi in cui i due limiti separati non esistono e il limite della somma esiste. Una situazione simile che si applica ai prodotti piuttosto che alle somme si è verificata in qualcosa che ho pubblicato qui di recente (non riesco a trovarlo in questo momento). Per uno dei due fattori il limite non esisteva, ma la funzione era limitata e quindi si poteva trovare il limite del prodotto mediante spremitura.
Il problema svanisce in gran parte se solo consideriamo$\lim$e$\log$esplicitamente come funzioni parziali . Una funzione parziale può essere vista come una funzione il cui codominio contiene un elemento in più ( distinguibile! ), fondamentalmente il "valore di errore".$$\begin{align} \log :&& \mathbb{R} \not\to \mathbb{R} \\ \lim_0 :&& ((\mathbb{R}\setminus\{0\})\to\mathbb{R}) \not\to \mathbb{R} \end{align}$$dove abbiamo per esempio$$\begin{align} \log(1) =& \text{OK}(0) \\ \log(0) =& \text{ERR} \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac{\sin h}{h}) =& \text{OK}(1) \\ \lim_0( h\mapsto \tfrac1{h}) =& \text{ERR} \end{align}$$
Ora, la legge del logaritmo$$ \log(a\cdot b) = \log a + \log b $$è da intendersi con un “sollevato”$+$operatore, che passa semplicemente il guasto su entrambi i lati. Ma ciò significa che per questo operatore non possiamo dedurre da$p+q=p$Quello$q=0$, perché$\text{ERR}+q$è sempre $\text{ERR}$senza riguardo! Invece, solo da$\text{OK}(p)+q = \text{OK}(p)$possiamo dedurre$q = \text{OK}(0)$. Quindi non arriviamo alla conclusione sbagliata$\log(0)$, perché non è un$\text{OK}$valore.
Applicato ai limiti della differenziazione, possiamo scrivere subito$$ f'(x) = \lim_0\left(h\mapsto\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right) $$solo notando che il risultato potrebbe essere$\text{ERR}$. Quello che possiamo anche fare senza alcun problema è riscrivere l'espressione all'interno del limite con qualsiasi cosa che – come una funzione$h\mapsto\ldots$– è davvero ( estensionalmente ) lo stesso. Questo in particolare non è un problema per$$\begin{align} f'(x) =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}\right) \\ =& \lim_0\left(h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}\right) \end{align}$$perché$h\mapsto\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$e$h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$sono davvero uguali per tutti$h\in\mathbb{R}$. Tuttavia, a questo punto non sappiamo se nessuno dei limiti esiste effettivamente: potrebbero essere entrambi$\text{ERR}$, o entrambi$\text{OK}$, ma comunque uguale.
Per il passaggio successivo abbiamo bisogno del fatto che il limite considera il suo argomento solo come una funzione con numeri diversi da zero come dominio, perché considerata solo come una funzione su quel dominio è$h\mapsto\frac{2\cdot h\cdot x+h^2}{h}$la stessa funzione di$h\mapsto 2\cdot x+h$.
E questo è tutto, a questo punto possiamo leggere che il limite c'è davvero$\text{OK}(2\cdot x)$e tornando indietro vediamo che devono esserci stati anche gli altri limiti$\text{OK}$con quello stesso valore.
Notare che$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}$è indefinito a$h=0$e quello, quando$h \ne 0$,
$$\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h} = \frac{2hx+h^2}{h} = 2x+h$$
Tuttavia, la funzione$:x \mapsto 2x+h$è definito, continuo e ha un valore di$2x$a$h=0$.
Abbiamo anche bisogno di usare
$$\lim_{h \to 0}\frac{2hx+h^2}{h} = \lim_{h \to 0}\frac hh \; \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{1} = \lim_{h \to 0} (2x+h) = 2x$$
Il resto segue.
Nessuna proprietà del limite è stata utilizzata nel primo argomento prima dell'ultimo passaggio, quindi in realtà ciò che abbiamo fatto all'interno del limite è solo una riscrittura e quando raggiungiamo l'ultimo passaggio possiamo mostrarne l'esistenza usando la definizione epsilon-delta che apparentemente si occupa del problema di esistenza, la stessa cosa si applica alla regola della catena poiché ogni cosa nella dimostrazione prima degli ultimi passaggi è solo una riscrittura e i passaggi finali che utilizzano le proprietà dei limiti che è giustificato poiché la definizione epsilon delta tratta il problema dell'esistenza, spero che questo aiuta
Se vogliamo essere assolutamente chiari, allora l'argomento per la derivata dovrebbe essere il seguente:$\lim\limits_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$e$\lim\limits_{h\to0}2x+h$entrambi esistono e sono uguali se e solo se almeno uno di essi esiste. Da quando$\lim\limits_{h\to0}2x+h$in effetti esiste ed è$2x$, così anche l'altro limite (cioè$\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}$) esistere ed essere$2x$.
Questo non funziona per il tuo esempio di logaritmo: puoi argomentarlo$\log0$e$\log0+\log0$esistono e sono uguali se almeno uno dei due esiste. Ma nessuno dei due esiste, quindi il punto è controverso.