Mantenere i fattori di fase in Sqrt

Question

Sto cercando di tracciare alcune funzioni olomorfe che contengono radici quadrate e superiori. Nel senso dell'analisi complessa, la funzione$f:z\mapsto z^\alpha$ per alcuni $\alpha\in\mathbb C$ ha un fattore di fase $e^{2\pi i\alpha}$ a $z=0$, il che significa che su un piccolo percorso circolare intorno $0$ la funzione $f$riprende questo fattore. C'è un modo per implementarlo in Mathematica?

Per esempio,

g[z_] = z^4;
Sqrt[g[Exp[Pi I/2]]]

restituisce 1 come risultato, dove vorrei che Mathematica mantenga la fase $g(e^{\pi i/2})=e^{2\pi i}$ e quindi calcola $$\sqrt{g(e^{\pi i/2})}=e^{\pi i}=-1.$$Con Sqrto$(\cdot)^{1/2}$questo non sembra possibile, poiché scelgono le principali radici quadrate. Molte grazie per il vostro aiuto!

EDIT Ecco un esempio:

lim = 5; dlim = 20; 
f1[z_] = Sqrt[z^8];
f2[z_] = z^4;
p1 = ParametricPlot[{Re[f1[1 + d I]], Im[f1[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
p2 = ParametricPlot[{Re[f2[ 1 + d I]], Im[f2[1 + d I]]}, {d, -dlim, 
    dlim}, PlotRange -> {{-lim, lim}, {-lim, lim}}];
GraphicsGrid[{{p1, p2}}]

Ovviamente le funzioni f1e f2non sono le stesse, proprio come$\sqrt{x^2}=|x|$ non è uguale a $x$ sopra $\mathbb R\ni x$. Per il mio scopo sono piuttosto interessato a una risoluzione della radice quadrata che porti ad una funzione liscia. I grafici di cui sopra hanno il seguente aspetto:

Nella figura a sinistra si vedono i punti in cui la funzione incrocia il ramo tagliato della radice quadrata. Mi chiedo se esista un modo per evitarlo, come nella foto a destra, senza poter risolvere a mano la radice quadrata. Ad esempio, se si aggiunge un'espressione a$z^8$ che contiene fasi simili, vorrei togliere una fase comune dalla radice quadrata, per non risentire del taglio del ramo.

Si può anche deformare la funzione di cui sopra per dire $f(z)=\sqrt{z^8+\varepsilon}$ per alcuni $\varepsilon>0$. Quindi non c'è modo di prendere la radice quadrata per generico$z$e non è possibile tracciare una deformazione dell'immagine a destra. Sono comunque interessato a trovare un modo per farlo, in modo tale che l'immagine giusta venga deformata continuamente.

Il mio attuale interesse deriva dalle radici quadrate delle funzioni modulari EllipticThetae DedekindEta, che si trasformano in determinate trasformazioni lineari frazionarie con fasi. Quindi è ben definito avere espressioni come$\sqrt{\vartheta_4(z)^8+\varepsilon \vartheta_2(z)^4\vartheta_3(z)^4}$ poiché entrambi gli addendi si trasformano con le stesse fasi.

Tutti i problemi di cui sopra derivano dal fatto che Mathematica esprime numeri complessi ad ogni passaggio in coordinate cartesiane o ignora tutto modulo $2\pi$in forma polare. Sarebbe bello trovare un modo per impedire a Mathematica di farlo, senza dover ridefinire ogni singola operazione. Molte grazie!

Answer 1

Questo è un esempio del problema generale di continuare analiticamente una funzione multivalore lungo un percorso continuo.

Nel caso di una funzione algebrica come $w=\sqrt{z^8}$, possiamo scriverlo come $f(z,w)=w^2-z^8=0$ e nel tuo caso, lasciando $z(t)=1+it$, Scrivi: $$ \frac{dw}{dt}=-\frac{f_z}{f_w}\frac{dz}{dt}=\frac{4i(1+it)^7}{w} $$ Successivamente risolveremo l'IVP (multivalore): $$ \frac{dw}{dt}=\frac{4i(1+i t)^7}{w};\quad \{w_0\}=\{f(z(t_0),w)=0\} $$ dove i valori DE e iniziali $\{w_0\}$ per $t_0=-5$ sono configurati come:

tStart = -5;
tEnd = 5;
thez[t_] = 1 + t I;
theDE = w'[t] == ((4 I z^7)/w /. {z -> thez[t],
    w -> w[t]});
wStart = w /. Solve[w^2 == (1 + tStart I)^8, w]

Ora risolvi entrambi gli IVP e traccia i risultati:

colors = {Red, Blue};
plotTable = Table[
   dSol = 
    First[NDSolve[{theDE, w[-5] == wStart[[i]]}, 
      w, {t, tStart, tEnd}]];
   theSol[t_] := Evaluate[Flatten[w[t] /. dSol]];
   ParametricPlot[{Re[theSol[t]], Im[theSol[t]]}, {t, tStart, tEnd}, 
    PlotRange -> {{-5, 5}, {-5, 5}}, PlotStyle -> colors[[i]]],
   {i, 1, 2}];
Show[plotTable]