Mostrando$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Question

Permettere$K = \mathbb{C}[[h]]$sia l'algebra delle serie di potenze formali del campo complesso e let$K_n = \frac{\mathbb{C}[[h]]}{(h^n)}$. Sto cercando di capire il seguente isomorfismo:

$(M \otimes_K N) \otimes_K K_n \cong (M \otimes_K K_n) \otimes_{K_n} (N \otimes_K K_n)$

Grazie!

Answer 1

L'affermazione vale per ogni algebra commutativa$B$su un anello commutativo$A$e$A$-moduli$M,N$. Ciò deriva da questa catena di$B$-modulo isomorfismi:\begin{align} (M\otimes_AB)\otimes_B(N\otimes_AB) &\xrightarrow\sim M\otimes_A(B\otimes_B(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim M\otimes_A(N\otimes_AB)\\ &\xrightarrow\sim(M\otimes_AN)\otimes_AB\\ \end{align}