Ogni funtore rappresentabile in $\text{Psh}(\mathcal{C}\times{\mathcal{\Delta}})$ hanno una debole equivalenza a $h_{(c,0)}$?
Permettere $\text{sPsh}(\mathcal{C})$ essere la categoria dei presheaves simpliciali, che voglio vedere come $$\text{sPsh}(\mathcal{C})=[\mathcal{C}^{\text{op}}\times\Delta^{\text{op}},\text{Set}]=\text{Psh}( \mathcal{C}\times \Delta).$$
Permettere $y:\mathcal{C}\to \text{Psh}(\mathcal{C})$ sii l'incorporamento di Yoneda, e lascia $d:\text{Psh}(\mathcal{C})\to \text{sPsh}(\mathcal{C})$ essere il funtore che prende un presheaf $P$ al costante presheaf simpliciale che ha $P$ in ogni dimensione $dP=(n \mapsto P[n]=P)$. Componendo questi due, otteniamo un incorporamento$$r:\mathcal{C}\to \text{Psh}(\mathcal{C}) \to \text{sPsh}(\mathcal{C})$$ che possiamo vedere anche come composizione $$r:\mathcal{C}\to \mathcal{C}\times{\Delta}\to \text{Psh}(\mathcal{C}\times{\Delta})$$ $$c\mapsto(c,0)\mapsto( \ (a,n)\mapsto\text{Hom}_{\mathcal{C}\times{\Delta}}((a,n),(c,0))\cong \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c) \ ).$$ In altre parole, prendiamo $c$ per $(c,0)$ e poi al funtore rappresentabile $y(c,0)=h_{(c,0)},$ che, da allora $0$ è il terminale in $\Delta,$ corrisponde solo al presheaf simpliciale costante $n\mapsto h_c.$
Quindi abbiamo una sottocategoria completa $$\{h_{(c,0)}: c\in \mathcal{C}\} \subset \text{sPsh}(\mathcal{C}).$$ Ora un generico presheaf rappresentabile in $\text{sPsh}(\mathcal{C})$ sarà della forma $$h_{(c,n)}:(a,m)\mapsto \text{Hom}((a,m),(c,n)).$$
Vorrei dimostrarlo (non so per certo che sia vero) che per tutti $(c,n)\in \mathcal{C}\times{\Delta},$ abbiamo una debole equivalenza nella struttura del modello Bousfield-Kan $$h_{(c,n)}\xrightarrow{\sim}h_{(c,0)}.$$
Stavo pensando di dimostrare che la trasformazione naturale $\eta:h_{(c,n)} \Rightarrow h_{(c,0)}$ dato in ciascuno $(a,m)\in \mathcal{C}^{\text{op}}\times{\Delta^{\text{op}}}$ dalla proiezione $$\text{Hom}_{\mathcal{C}\times{\Delta}}((a,m),(c,n))=\text{Hom}_{\Delta}(m,n) \times{\text{Hom}_{\mathcal{C}}}(a,c)\to \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c)$$ è un'equivalenza debole.
Questo, nella struttura del modello BK significherebbe che per ogni $a \in \mathcal{C}$ la proiezione è un'equivalenza debole dell'insieme simpliciale $m\mapsto \text{Hom}_{\Delta}(m,n) \times{\text{Hom}_{\mathcal{C}}}(a,c)$ all'insieme simpliciale costante $m\mapsto \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c).$
Questo a sua volta significherebbe che la realizzazione geometrica di questi è una debole equivalenza omotopica di spazi debolmente di Hausdorff generati in modo compatto.
Non ho idea di come dimostrarlo però. So che la realizzazione geometrica preserva i prodotti, ma non mi porta molto lontano.
Risposte
Da $\def\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom_{\mathcal C}(a,c)$ è solo un insieme, il prodotto è anche un'unione disgiunta $$\Hom_\Delta(-,[n])\times\Hom_{\mathcal C}(a,c) = \coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}\Hom_\Delta(-,[n])$$ e in questo modo la proiezione su $\Hom_{\mathcal C}(a,c)$ è il coprodotto di molte copie della mappa simpliciale $\Hom_\Delta(-,[n])\to*$; ovvero, la proiezione è un coprodotto di diverse copie di$\Delta[n]\to*$.
Le mappe $\Delta[n]\to*$ sono equivalenze deboli a partire dallo standard simplex $\Delta[n]$ è contraibile e tutti gli oggetti in $\mathbf{sSet}$ sono cofibranti, quindi il coprodotto di equivalenze deboli è di nuovo un'equivalenza debole del lemma di Ken Brown (i coprodotti preservano le cofibrazioni banali di oggetti cofibranti e quindi preservano le equivalenze deboli di oggetti cofibranti).
Pertanto, otteniamo che la mappa $$ \Hom_\Delta(-,[n])\times\Hom_{\mathcal C}(a,c)=\coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}\Delta[n]\to\coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}*=\Hom_{\mathcal C}(a,c) $$ è un'equivalenza debole per ogni $a\in\mathcal C$, permettendoci di concludere che $h_{(c,n)}\simeq h_{(c,0)}$ in $\operatorname{sPSh}\mathcal C$.