Permettere $P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+…+a_nx^n$ e $P(1)=4$ e $P(5)=136$

Aug 15 2020

Permettere $P(x)$ essere un polinomio tale che, $$P(x)=a_0+a_1x+a_2 x^2+a_3x^3+.......+a_nx^n,~~(a_i,n\in{Z^{\geq 0}})$$

$$ P(1)=4, P(5)=136$$

Dobbiamo trovare $P(3)$

Questo problema è più difficile di quanto sembri (almeno per me)

Quello che ho cercato di fare è stato $$P(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+.......+a_n=4$$ e $$P(5)=a_0+5a_1+25a_2 +125a_3+.......+a_n5^n$$

Permettere $P(1)=S$e prendiamo $a_0$ a lato di $S$ e moltiplicare $(S-a_0)$ di $5$e alcune cancellazioni. Semplicemente non porta da nessuna parte

Posso ottenere alcuni suggerimenti su come procedere?

Risposte

5 JohnWhite Aug 15 2020 at 18:15

L'osservazione cruciale deriva dal fatto che i coefficienti devono essere inseriti $\mathbb{Z}^{\geq 0}$.

$P(5) = 136$ può essere scritto solo nei seguenti modi usando i poteri di 5:

  • $1 + (27)(5)$
  • $1 + (22-5i)(5) + (i+1)(5^2)$ per $i = 0,1,2,3,4$
  • $1 + (2)(5) + (1)(5^3)$

L'unico che soddisfa $P(1) = 4$ è l'ultimo che è $P(x) = 1 + 2x + x^3$.

Perciò, $P(3) = 34$

2 Sayan Aug 15 2020 at 18:17

Chiaramente $n\le 3$ come $a_n5^n>136$ per $n\ge 4$ e $a_n\ge 1$. Da$P(5)=136$ questo forza $a_3\le 1$. Se$a_3=1$, chiaramente $a_2=0$ quali forze $a_1=2$ e $a_0=1$. Se$n=2$, come $a_0+a_1+a_2=4$, è facile controllare se tutti i file $a_i$ sono inferiori o uguali a $4$, $P(5)=136$ non è realizzabile.

1 fleablood Aug 15 2020 at 18:49

Va bene ... suggerimenti.

Di cosa è rimasto $136$ diviso per $5,25, 125$ e $625$.

Di cosa si parla $P(5) = \sum_{k=0}^n 5^k a_k$ e i valori di $a_k$.

E $P(1) = \sum_{k=0}^n 1^k\cdot a_k$. Che cosa dice su quanti valori diversi da zero di$a_k$ ci sono e quali possono essere i loro valori massimi.

Spero con questi suggerimenti che non solo tu possa dire cosa $P(3)$ è, puoi esprimere $P(x)$ con assoluta certezza.

GregMartin Aug 15 2020 at 18:13

Suggerimento: dato quello $P(1)=4$, Sono tentato di scrivere $P(x) = x^{n_1}+x^{n_2}+x^{n_3}+x^{n_4}$ dove $n_1,n_2,n_3,n_4$non sono necessariamente distinti. Quindi usando il fatto$P(5)=136$ dovrebbe essere più facile.