Possiamo garantire che esista un file $\epsilon' > 0$ tale che vale per questa disuguaglianza?
Attualmente sto cercando di dimostrare la legge del limite moltiplicativo:
permettere $(a_n)^{\infty}_{n=m}, (b_n)^{\infty}_{n=m}$ essere sequenze convergenti di numeri reali, e $X, Y$ essere i numeri reali $X = \lim_{n\to \infty}a_n$ e $Y = \lim_{n\to \infty}b_n$. $$ \lim_{n \to \infty}a_nb_n = \left(\lim_{n\to \infty}a_n\right) \cdot \left(\lim_{n\to \infty}b_n\right) $$
Dal momento che entrambi $(a_n)^{\infty}_{n=m}$ e $(b_n)^{\infty}_{n=m}$ sono convergenti rispettivamente a X e Y, lo sappiamo $|a_n - X| \leq \epsilon'$ e $|b_n - Y| \leq \delta$.
Sappiamo anche, per qualche lemma che abbiamo dimostrato in precedenza nel libro, che $|a - b| \leq \epsilon \land |c - d| \leq \delta \implies |ac - bd| \leq \epsilon \cdot |c| + \delta \cdot |a| + \epsilon \delta$.
Questo è perfetto, come posso usarlo per dimostrarlo $|a_nb_n - XY| \leq \epsilon$ per qualche arbitrario $\epsilon > 0$, purché dimostri che esiste $\epsilon' * |Y| \leq \frac{\epsilon}{3}$ e che ce ne sia qualcuno $0 < \delta < 1$ tale che $\delta \cdot (|X| + \epsilon') \leq \frac{2}{3}\epsilon$
Potrei provare la prima parte usando la proprietà di Archimede dei reali, ma non sono così sicuro della seconda parte. La seconda parte sembra che dovrebbe funzionare poiché possiamo scegliere un arbitrariamente piccolo$\delta$, ma non posso provare che lo sia. Sto facendo qualcosa di sbagliato? è possibile modificare un po 'questa prova per farlo funzionare?
Risposte
Se $a_n \to a, b_n \to b$ poi ce ne sono alcuni $M$ tale che $|a|,|b_n| \le M$.
Poi $|a_nb_n -ab| = |a_nb_n -a b_n + a b_n -ab| \le |a_n-a| |b_n| + |a| |b_n-b| \le M (|a-a_n|+ |b-b_n|)$.
Adesso scegli $N$ abbastanza grande così $|a-a_n|, |b-b_n| < {\epsilon \over 2 M}$.