Riguardo alla prova che l'unione di una sequenza di insiemi numerabili è numerabile

Question

Il Teorema 2.12 dei Principles of Mathematical Analysis di Rudin afferma che l'unione S di una sequenza di insiemi numerabili (E _n ) è numerabile. Nella dimostrazione, Rudin costituisce il seguente array:

e quindi itera attraverso di essa per ottenere quanto segue:

e ha concluso affermando che se due insiemi qualsiasi hanno elementi in comune, allora compaiono più di una volta nella sequenza precedente quindi prendiamo un sottoinsieme T dell'insieme di tutti gli interi postitivi e quel sottoinsieme T è equivalente all'unione. Quindi è numerabile. Per quanto ne so, per stabilire che un insieme è numerabile, dobbiamo costruire un 1-1 sulla mappa dall'insieme di interi positivi (o un suo sottoinsieme, T in questo caso) a quell'insieme. Quello che presumo che l'autore faccia qui è che costruisce la seguente funzione:

$$f: T ↦ S$$

$$f(n_1)=x_{11}$$ $$f(n_2)=x_{21}$$ $$f(n_3)=x_{12}$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$

dove le n sono elementi di T in ordine.

Quello che ho detto è corretto? La funzione sopra è valida?

Grazie.

Answer 1

$\textbf{tl;dr:}$ si hai ragione.

Puoi pensare a una sequenza infinita $a_1,a_2,a_3,\dots$ di elementi $a_i$ di alcuni set $A$ come funzione dall'insieme di interi positivi a $A$ dato da $n \mapsto a_n$(questa è infatti la definizione formale di una sequenza). Quindi la lista che Ruding ha scritto (vale a dire$x_{11} ; x_{21} ; x_ {12} \dots$) è la stessa cosa che dare una funzione (suriettiva) da $\mathbb{N}$ per $\cup_n E_n$.

A volte "$A$ è numerabile "è definito per significare che esiste una suriezione $f:\mathbb{N} \rightarrow A$. Questo è equivalente alla definizione che sembri utilizzare (che esiste un file$ \textit{bijection }g:\mathbb{N}\rightarrow A$). Questo è fondamentalmente perché dato una sorpresa$f: \mathbb{N} \rightarrow A$ puoi limitare $f$ a qualche sottoinsieme $T \subseteq\mathbb{N}$ così che $f|_T : T \rightarrow A$è una biiezione. Ed è facile (ad esempio usando quello$\mathbb{N}$ è ben ordinato) per trovare una biiezione tra $T$ e $\mathbb{N}$.

(Forse interessante: se non mi sbaglio, e posso benissimo esserlo, il fatto che qualsiasi suriezione possa essere limitata a una biiezione è equivalente all'assioma della scelta).