Se $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, con altezza $AD$ e mediana $AK$. Dimostralo $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$

Aug 18 2020

Se $\triangle ABC$ è un triangolo e $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, con altezza $AD$ e mediana $AK$; supporre che$D$ è tra $B$ e $K$.

  1. Prova che $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
  2. Quindi, dimostralo $\angle BCA= \frac\pi 8$ Se $|AD|=|DK|$.
  3. Concludilo $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$

Ho già ottenuto il sorteggio, ma non so davvero come iniziare.

lo so $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$

Risposte

AlexeyBurdin Aug 18 2020 at 15:21

Considera il circumcircle di $\triangle ABC$. Da$\angle A=\frac{\pi}{2}$, sottende il diametro, così $K$ è il circumcenter e $$KA=KB=KC\tag{1}$$

  1. Da $\triangle KCA$ è isoscele, $\angle KCA=\angle KAC$.
    In$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, così $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, ma $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, così $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED.
  2. In $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, così $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
    Da$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ e $\angle KAC=\angle KCA$, così $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED.
  3. In $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ e $AK=KC=AD\sqrt{2}$ così $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ le altre funzioni di $\frac{\pi}{8}$ sono fatti usando $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$
MichaelRozenberg Aug 18 2020 at 13:58

Permettere $D$ essere posto tra $K$ e $B$.

Quindi, da allora $AK$ è una mediana, otteniamo $$AK=CK=KB,$$ che dà $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$

SarGe Aug 18 2020 at 15:11
  1. Da quando l'hai capito $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, utilizza la proprietà che gli angoli corrispondenti di triangoli simili sono uguali. Inoltre, notalo$AK=KC$, quindi $\triangle KAC$ è isoscele.

  2. Se $AD=DK$, noi abbiamo $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. Quindi,$\triangle KAC$ essendo isoscele, abbiamo $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.

  3. abbiamo $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. In$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$