Se le condizioni per a$C^1$-diffeomorfismo da avere$L^1$o$L^\infty$Jacobiano

Question

Permettere$\Delta,D$essere due sottoinsiemi aperti di$\mathbb{R}^d$, e lascia$\varphi:\Delta \rightarrow D$essere un$C^1$-diffeomorfismo con determinante Jacobiano$J_{\varphi}.$

1. Prova che$\lambda_d(D)<+\infty$se e solo se$J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$

2. Prova che$J_\varphi$è delimitato$\Delta$se e solo se$\exists c>0$tale che per tutti aperti$\Omega \subset\Delta$,$\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$

Per la parte 1, il risultato segue da$\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$

Per la parte 2, se$J_\varphi$è limitato,$\exists c>0$tale che per tutti aperti$\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$

Come possiamo dimostrare il contrario?

Answer 1

Ricordiamolo per qualsiasi funzione continua$f$definito su un intorno di un punto$x\in\mathbb R^d$,$$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$

Supponiamo la funzione continua$|J_\varphi|$era illimitato. Quindi per ciascuno$n\in\mathbb Z_{>0}$, lì esiste$x_n\in \Delta$tale che$|J_\varphi(x_n)|>2n$. Pertanto, per sufficientemente piccolo$r_n>0$,$$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$vale a dire$$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$quindi niente del genere$c>0$può esistere.