Se$P(x)$è un polinomio di grado tre in$x$, e$y^2 = P(x)$, mostralo$\frac{D(y^3D^2y)}{y^2}$è costante

Question

Se$P(x)$è un polinomio di grado tre in$x$, e$y^2 = P(x)$, mostralo$$\frac{D(y^3D^2y)}{y^2}$$

è una costante, dove D denota l'operatore derivato.

Ho cercato di esprimere l'espressione sopra in termini di$P$e le sue derivate (nella speranza di mostrare la derivata is$0$) ma non sono riuscito a farlo.

Answer 1

Prima considera$$Dy = \frac{1}{2y}Dy^2$$e$$D^2y = D(\frac{1}{2y}Dy^2) =\frac{-1}{2y^2}(Dy)(Dy^2) + \frac{1}{2y}D^2y^2 = -\frac{1}{4y^3}(Dy^2)^2 + \frac{1}{2y}D^2y^2 $$Pertanto, il numeratore nella tua espressione è\begin{align} D(y^3D^2y) &= D(-\frac{1}{4}(Dy^2)^2 + \frac{y^2}{2}D^2y^2) \\ &=-\frac{1}{2}(Dy^2)(D^2y^2) + \frac{1}{2}(Dy^2)(D^2y^2) + \frac{y^2}{2}D^3y^2 \\ &=\frac{y^2}{2}D^3y^2 \end{align}allora la tua espressione originale diventa$$\frac{D(y^3D^2y)}{y^2} = \frac{1}{2}D^3 y^2$$Se$y^2 = ax^3+bx^2+cx+d$, poi$$\frac{D(y^3D^2y)}{y^2} = 3a$$