" $\Sigma_1^1$-Peano aritmetica ”- lo definisce $\mathbb{N}$?

Question

Permettere $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$essere la teoria nella logica del secondo ordine ottenuta estendendo i consueti assiomi di Peano del primo ordine per includere arbitrari$\Sigma^1_1$formule nello schema di induzione. La mia domanda è:

Lo fa $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ hai modelli non standard?

Nota che un modello di $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ è esattamente un modello di $\mathsf{PA}$ senza (proprio non banale) $\Sigma^1_1$-tagli definibili.

Se sostituiamo $\Sigma^1_1$ con $\Pi^1_1$ la risposta è immediatamente negativa, poiché l'insieme di elementi standard di un modello di $\mathsf{PA}$ è $\Pi^1_1$. Tuttavia, niente di simile sembra funzionare per$\Sigma^1_1$ (anche se potrei facilmente perdere qualcosa di ovvio).

Una rapida osservazione è questa $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$implica una vera aritmetica del primo ordine . Data una formula del primo ordine$\varphi(x)$, permettere $\hat{\varphi}(x)$ essere il $\Sigma^1_1$ formula "C'è un taglio contenente $x$ tale che ogni elemento del taglio soddisfi $\varphi$." Se $M\models\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$ abbiamo banalmente $\hat{\varphi}^M\in\{\emptyset,M\}$; per induzione sulla complessità di$\varphi$ possiamo dimostrarlo se ogni numero naturale standard soddisfa $\varphi$ poi $0\in\hat{\varphi}^M$ E conseguentemente $M\models\forall x\varphi(x)$ (che poi dà $M\equiv\mathbb{N}$). Tuttavia, non vedo come usarlo per ottenere la categoricità. In effetti, per quanto ne so è possibile che, ad esempio, ogni ultrapower non banale di$\mathbb{N}$ soddisfa $\mathsf{PA}_{\Sigma^1_1}$. (Notare che$\Sigma^1_1$le frasi vengono conservate sotto i superpoteri; tuttavia, un'istanza di induzione per a$\Sigma^1_1$ la formula è $\Sigma^1_1\vee\Pi^1_1$ e $\Pi^1_1$ le frasi non vengono conservate durante l'assunzione di ultrapower, quindi questo non sembra aiutare.)

Answer 1

Se consenti al tuo $\Sigma^1_1$ formule per avere parametri, quindi PA$_{\Sigma^1_1}$ha solo il modello standard. Per dimostrarlo, usa il$\Pi^1_1$ definizione di standardità per produrre a $\Sigma^1_1$ formula $\sigma(x,y)$ dicendo ciò $x<y$ e $y-x$ non è standard, cioè $x$ è infinitamente molto al di sotto $y$. È facile dimostrarlo$\sigma(x,y)$ implica $\sigma(x+1,y)$. Quindi, da$\Sigma^1_1$ induzione, se $\sigma(0,y)$ poi $\forall x\,\sigma(x,y)$ e, in particolare, $\sigma(y,y)$, il che è assurdo. Così$\neg\sigma(0,y)$. Ma questo significa$y$ è standard.