Test per una funzione continua

Question

Permettere $f$ essere una funzione definita in $[0, 6]$, continuo in $[0, 6]$ ed è provvisto di una terza derivata in $]0, 6[.$Quale delle seguenti affermazioni è falsa ?

$$\fbox{A}\quad f \text{ has no asymptotes; }$$ $$\fbox{B}\quad f \text{ may have no critical points; }$$ $$\fbox{C}\quad f \text{ has a relative maximum or has a minimum relative; }$$ $$\fbox{D}\quad f'' \text{ is continuous in } ]0; 6[;$$ $$\fbox{E}\quad \text{If } f'(5) = f''(5) = 0 \text{ and } f'''(5) = 7, \text{then } f \text{ has an inflection point with a horizontal tangent at } x = 5$$

Di seguito la domanda originale in lingua italiana. Sopra c'è la traduzione.

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Il mio tentativo di risoluzione per trovare la risposta corretta. Il$\fbox{A}$ è il vero essere $f$ è continuo in $[0,6]$. Il$\fbox{B}$ è vero per il teorema di Weierstrass: osservalo $[0,6]$è chiuso. Se penso al polinomio$\deg(p(x))=6$ e $\fbox{C}$per me è vero. Per il$\fbox{D}$ Ho pensato che se $f$ ed è provvisto di una terza derivata in $]0,6[$, quasi per $f''$ è continuo in $]0,6[$. Direi il$\fbox{E}$è falso , ma non posso giustificarlo.

Chiedo se il mio ragionamento è corretto o ci sono incongruenze.

Answer 1

Per me, C è falso se intendi come un estremo relativo (o estremo locale) un estremo su un quartiere di un punto all'interno di$[0,6]$. Infatti, ecco un controesempio che soddisfa tutte le ipotesi, che non ha né un massimo locale né un minimo locale$[0,6]$, sebbene abbia un massimo e un minimo: $$f(x)=\frac 76(x-5)^3.$$

D'altra parte, E è vero, perché se $f'''(5)=7$, è positivo in un piccolo quartiere di $5$, dì $I=(5-ε, 5+ε)$ (i derivati ​​soddisfano la proprietà del valore intermedio), in modo che $f''$aumenta in questo intervallo. Pertanto, se$f''(5)=0$, noi abbiamo $f''(x)<0$ sopra $(5-ε,5)$ e $f''(x)>0$ sopra $(5, 5+ε)$, così che $f'$ ha un minimo locale su $I$, che corrisponde alla definizione di un punto di flesso.