Trova il valore massimo di$x^2y$dati vincoli
Trova il valore massimo di$${ x }^{ 2 }y$$soggetto al vincolo$$x+y+\sqrt { 2{ x }^{ 2 }+2xy+3{ y }^{ 2 } } =k$$dove k è una costante. L'ho provato sostituendo il valore di x e poi differenziando wrt$x$ma non è in grado di procedere oltre.
Risposte
Permettere$y=a x$e dal vincolo (assumendo$x>0$ $$x=\frac{k}{\sqrt{3 a^2+2 a+2}+a+1}\qquad y=\frac{ak}{\sqrt{3 a^2+2 a+2}+a+1}$$ $$x^2y=\frac{a k^3}{\left(\sqrt{3 a^2+2 a+2}+a+1\right)^3}$$Differenziare rispetto a$a$ottenere$$-\frac{(2 a-1) \left(3 a+2+\sqrt{a (3 a+2)+2}\right) k^3}{\sqrt{a (3 a+2)+2} \left(a+\sqrt{a (3 a+2)+2}+1\right)^4}=0$$
Quindi, neanche$a=\frac 12$che darebbe$$x^2 y=\frac{4 k^3}{\left(3+\sqrt{15}\right)^3}$$o$a=-\frac{1}{6} \left(5+\sqrt{13}\right)$che darebbe$$x^2y=\frac{1}{54} \left(35-13 \sqrt{13}\right) k^3$$
Suggerimento:
Per comodità, trasforma il vincolo originale in una forma quadratica.
$$2x^2+2xy+3y^2-(k-x-y)^2=0$$
o
$$x^2+2kx+2y^2+2ky-k^2=0.$$
Così sono le equazioni dedotte con i moltiplicatori lagrangiani
$$\begin{cases}2xy=\lambda(2x+2k),\\x^2=\lambda(4y+2k).\end{cases}$$
Per eliminazione,
$$2x^2+2kx-8y^2-4ky=0$$e devi intersecare due coniche.
$$g(x,y)=x+y+\sqrt { 2{ x }^{ 2 }+2xy+3{ y }^{ 2 } }= x+y + Q(x,y) = k \tag1$$
per la funzione oggetto
$$f(x,y)=x^2y $$
Con il metodo del moltiplicatore di Lagrange
$$\dfrac{g_x}{g_y}= \dfrac{f_x}{f_y} $$
$$\dfrac{2y}{x}=1+\dfrac{(4x+2y)}{2Q}=1+\dfrac{(2x+6y)}{2Q}$$semplificando
$$Q(2y-x)= 2x^2-xy-6y^2$$
ha un fattore comune$ (2y-x)$per cancellare
$$=(x-2y)(2x+3y)\rightarrow Q=(2x+3y)$$Squadratura$$ Q^2=4x^2+12 x y+9y^2=2x^2+10 xy+6y^2$$
semplificando per trovare radici di quadratica$$x^2+5 x y+3 y^2=0;\quad \dfrac{y}{x}=\dfrac{-5\pm \sqrt{13}}{6}; $$
che sono una coppia di rette.
Se$(p,q)$sono queste radici dire$ y=px,\;y=qx\;$Inserisci la prima delle due radici in (1)
$$ k = x( 1+p+ \sqrt{2+2p+3p^2}) =C x\;$$dire, quindi il valore massimo è
$$x^2y=x^3\cdot\dfrac{y}{x}=p k^3/C^3=\dfrac{pk^3}{( 1+p+ \sqrt{2+2p+3p^2})^3}$$
dove
$$p=\dfrac{\sqrt{13}-5}{6}$$
Il valore minimo può essere trovato da$y=qx$in modo simile.
Si potrebbe procedere con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, puoi trovare maggiori informazioni su questo sia su:
- https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multiplier,
- o ai seguenti link che ospitano una serie di esempihttps://math.berkeley.edu/~scanlon/m16bs04/ln/16b2lec3.pdf.
Ora, miriamo a massimizzare la funzione$f(x,y) = x^2 y$soggetto al vincolo$g(x,y) = 0 $dove$$g(x,y) = x + y + \sqrt{2x^2 + 2xy + 3y^2} - k $$per qualche costante$k \in \mathbb{R}$. Il vincolo nella forma precedente può essere semplificato (in modo da rimuovere le radici quadrate) semplicemente elevandolo al quadrato . Quindi ora considera invece la funzione$$h(x,y) = x^2 + 2y^2 + 2k(x+y) - k^2.$$Quindi il problema di cui sopra è equivalente alla massimizzazione$f(x,y)$rispetto al vincolo$h(x,y) = 0$.
Ambientazione$$L(x,y,\lambda) := f(x,y) + \lambda g(x,y),$$e risolvere il sistema di equazioni$$\frac{\partial L}{\partial x}(x,y,\lambda) = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial y}(x,y,\lambda) = 0, \quad \frac{\partial L}{\partial \lambda}(x,y,\lambda) = 0$$darà la soluzione richiesta.
Puoi prenderlo da qui?