Una definizione rigorosa dell'esponenziale di un operatore in QM?
Nel corso di Meccanica Quantistica che ho seguito, abbiamo definito l'operatore esponenziale semplicemente come $$ \mathrm{e}^{\hat A} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} \hat A^n \: . $$ Questa è probabilmente una buona definizione per gli operatori limitati $\hat A \in B(\mathcal H)$ su uno spazio di Hilbert $\mathcal H$, poiché le somme parziali formano una sequenza di Cauchy e $B(\mathcal H)$ è completo, quindi la somma converge sempre a qualche operatore $\mathrm{e}^{\hat A} \in B(\mathcal H)$. $$ \hat S_n = \sum_{k = 0}^n \frac{1}{k!} \hat A^k, \quad \left\lVert \hat S_n - \hat S_m \right\rVert = \left\lVert \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \hat A^k \right\rVert \leq \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \left\lVert \hat A^k \right\rVert \leq \sum_{k = m}^n \frac{1}{k!} \left\lVert \hat A \right\rVert^k \to 0 $$
Tuttavia non abbiamo mai discusso se questo sia ben definito per operatori illimitati, sebbene non sia insolito prendere un esponenziale di operatori illimitati, ad esempio quando si "generano" operatori da trasformazioni infinitesime (es. Questa domanda: [1] ).
Le mie domande sono:
- Questa definizione è corretta anche per gli operatori illimitati?
- In caso negativo, qual è la definizione corretta?
- Quali proprietà fa $\hat A$ devi avere per avere un esponenziale ben definito?
- Se $\hat A$ è definito su $D(\hat A)$ qual è il dominio di $\mathrm{e}^{\hat A}$?
Risposte
Il nome matematico per la teoria dell'applicazione delle funzioni agli operatori è calcolo funzionale , e quello impiegato di solito quando si vuole parlare rigorosamente, ad esempio, dell'esponenziale degli operatori di posizione e quantità di moto - per esempio nel contesto del teorema di Stone - è calcolo funzionale di Borel . Funziona per tutti gli operatori normali, cioè tutti gli operatori a cui puoi applicare qualche versione del teorema spettrale per ottenere la misura spettrale che un fisico scriverebbe come$\int a \lvert a\rangle\langle a\rvert\mathrm{d}a$ per $\lvert a\rangle$ gli "autostati" di qualche normale operatore $A$.
Applicare l'operatore $A$ è lo stesso dell'applicazione $\int a\lvert a\rangle\langle a\rvert \mathrm{d}a$, quindi applicando $f(A)$ è lo stesso dell'applicazione $\int f(a)\lvert a\rangle\langle a\rvert\mathrm{d}a$. La difficoltà matematica è provare l'esistenza e l'unicità dell'operatore descritto da questa misura spettrale modificata. Per esempio. il libro di Simon e Reed dovrebbe avere una prova della ben definita definizione del calcolo funzionale richiesto per le applicazioni fisiche.
Il dominio dell'operatore risultante è l'intero spazio di Hilbert se $f$ è limitato e se $f$ è illimitato, quindi è qualunque sottoinsieme dello spazio di Hilbert l'espressione $\int f(a)\lvert a\rangle \langle a\vert \psi\rangle\mathrm{d}a$converge. Nota ancora che, rigorosamente, cose come$\lvert a\rangle$ non esistono realmente nello spazio di Hibert e $a \lvert a\rangle\langle a\rvert \mathrm{d}a$è solo un'espressione indivisibile che denota la misura spettrale.
Anche se esiste già una buona risposta accettata, vorrei aggiungere qualcosa per correggere completamente alcuni dettagli.
Questa definizione è corretta anche per gli operatori illimitati?
No, non funziona essenzialmente a causa della nozione errata di convergenza utilizzata.
Tuttavia, è possibile dimostrarlo, se $A$ - con dominio denso $D(A)$- è chiuso e normale (*) - che include l'autoaggiunto e il caso unitario - quindi c'è un sottospazio denso$D_A\subset D(A)$di vettori, chiamati vettori analitici dove la formula è ancora valida con le modifiche cruciali che
a) gli operatori devono essere applicati a questi vettori e
(b) deve essere utilizzata la topologia dello spazio di Hilbert (la serie è ora di vettori piuttosto che di operatori ), $$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi\:, \quad \forall \psi \in D_A .$$
(Il parametro $t\in \mathbb{C}$ può essere preso in un quartiere sufficientemente piccolo di $0$, indipendente da $\psi\in D_A$.)
Sottolineo che la serie non è la definizione dell'esponenziale, l'identità sopra è un'identità di due oggetti matematici definiti indipendentemente.
Tuttavia quella serie può essere utilizzata per definire in modo equivalente l'esponenziale su detto dominio e questa definizione coincide con la definizione per operatori illimitati di seguito.
In caso negativo, qual è la definizione corretta?
Se $A: D(A) \to H$, densamente definito, è chiuso e normale, quindi ammette una misura spettrale $P: B(\mathbb{C}) \to B(H)$, dove $B(\mathbb{C})\ni E$è il Borel$\sigma$-algebra accesa$\mathbb{C}$ e ciascuno $P(E)$è un proiettore ortogonale in formato$H$.
Possiamo eventualmente definire (su un dominio adeguatamente denso definito di seguito) $$f(A) := \int_{\mathbb{C}} f(\lambda) dP(\lambda)\tag{1}$$ per ogni funzione misurabile Borel $f: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$.
L'esponenziale del detto $A$ si definisce in questo modo semplicemente sostituendo $f$ per la mappa esponenziale.
Se $A$è autoaggiunto , $B(\mathbb{C})$ può essere ripagato da $B(\mathbb{R})$ da fuori $\mathbb{C}$ la misura spettrale svanisce.
In realtà il supporto della misura spettrale di $A$(densamente definito, chiuso e normale) coincide sempre con lo spettro $\sigma(A)$ di $A$.
Quali proprietà fa $\hat A$ devi avere per avere un esponenziale ben definito?
Abbiamo due casi che in realtà coincidono in cui entrambe le definizioni sono adatte.
(a) Se $A$è ovunque definito e limitato, l'esponenziale è automaticamente ben definito dalla sua espansione in serie - rispetto alla norma dell'operatore - e questa espansione può essere usata come definizione stessa.
(b) Se $A$non è ovunque definito / limitato, la definizione precedente (1) basata sul calcolo funzionale di Borel si applica quando $A$ è densamente definito, normale e chiuso, in particolare autoaggiunto.
Quest'ultima definizione, (b), coincide con la prima, (a), quando $A$ è ovunque definito, limitato e normale, ad esempio se $A$è unitario .
Come dichiarato all'inizio, l'espansione in serie è comunque valida per operatori normali densamente definiti, chiusi, che lavorano su vettori analitici e che utilizzano la norma di $H$(tecnicamente la topologia dell'operatore forte ).
Per quanto ne so questi (densamente definiti, chiusi, normali) sono i requisiti minimi che producono una teoria coerente per operatori illimitati.
Se $\hat A$ è definito su $D(\hat A)$ qual è il dominio di $\mathrm{e}^{\hat A}$?
Il dominio di $f(A)$ come in (1) è
$$D(f(A)) = \left\{\psi \in H \:\left|\: \int_{\mathbb{c}} |f(x)|^2 d \mu^A_\psi(x)< +\infty \right.\right\}\tag{2}$$ dove $$\mu^A_\psi(E) := \langle \psi |P(E) \psi\rangle$$ è una misura di Borel finito positiva standard.
Se $A$ è autoaggiunto $\mu^A_\psi$ è supportato in $\mathbb{R}$ effettivamente su $\sigma(A)$. Là,$f(x) = \exp x$ non è limitato (a meno che $\sigma(A)$ è limitato quale menas quello $A$ è limitato), quindi $D(f(A)) \subsetneq H$.
Tuttavia se invece consideri $f(x)= \exp ix$ e $A$ è autoaggiunto, quindi $f$ è delimitato da $1$ sopra $\mathbb{R}$. Da$\mu^A_f(\mathbb{R}) = ||\psi||^2 < +\infty$, risulta da (2) quello $$D(f(A)) = H\:.$$
Se $E \subset \mathbb C$ è Borel impostato e $\chi_E(x)=1$ per $x\in E$ e $\chi_E(x)=0$ altrimenti, allora $$P_E := \int_{\mathbb C} \chi_E(x) dP^{(A)}(x)$$ è un proiettore ortogonale su un sottospazio chiuso $H_E$.
Una famiglia di vettori analitici $\psi$ così soddisfacente $$e^{tA}\psi = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t^n}{n!}A^n \psi$$ la cui estensione (finita) è densa si ottiene come segue. Prendi una classe di set Borel$E_N\subset \mathbb C$, dove $N\in \mathbb N$, richiedendo che ogni $E_N$ è limitato e $\cup_N E_N = \mathbb C$. La suddetta famiglia di vettori analitici è costituita da tutti i vettori $\psi \in H_{E_N}$ per ogni $N \in \mathbb N$.
Come osservazione finale, sottolineo che quasi tutti gli operatori con una certa rilevanza in QM sono sia densamente definiti che chiusi.
(*) $A: D(A) \to H$è chiuso se l'insieme delle coppie$(\psi, A\psi)$ con $\psi \in D(A)$ è un insieme chiuso $H \times H$.
$A: D(A) \to H$densamente definito e chiuso è normale se$A^\dagger A= A A^\dagger$ sui domini naturali di entrambi i lati che devono coincidere.