Una domanda sui derivati ​​frazionari

Question

Non so praticamente nulla del calcolo frazionario, quindi mi scuso in anticipo se la seguente è una domanda sciocca. Ho già provato math.stackexchange.

Volevo solo chiedere se esiste una nozione di derivata frazionaria che è lineare e soddisfa la seguente proprietà $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ dove $\alpha$è uno scalare. Nel caso dei derivati ​​standard avremmo$\alpha = n$.

Grazie mille.

Answer 1

Fondamentalmente non ci sono soluzioni interessanti a questa equazione oltre agli operatori di ordine primo e zero, anche se si impone solo il vincolo dichiarato per $n=2$.

Innanzitutto, possiamo depolarizzare l'ipotesi$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ sostituendo $f$ con $f+g, f-g$ per funzioni arbitrarie $f,g$ e sottraendo (e poi dividendo per $4$) per ottenere l'identità di tipo Leibniz più flessibile $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$

Ora ci sono tre casi, a seconda del valore di $\alpha_2$:

1. $\alpha_2 \neq 1,2$. Applicando (2) con$f=g=1$ quindi concludiamo che $D^u(1)=0$e quindi applicare di nuovo (2) con solo $g=1$ noi abbiamo $D^u(f)=0$. Quindi abbiamo la soluzione banale$D^u=0$ in questo caso.
2. $\alpha_2=2$. Poi$D^u$è una derivazione e per induzione abbiamo$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, proprio come con la derivata ordinaria, quindi abbiamo solo $\alpha_n=n$ per tutti $n$ senza comportamento frazionario.
3. $\alpha_2=1$. Applicando (2) con$g=1$ otteniamo (dopo un po 'di algebra) $D^u(f) = mf$ dove $m := D^u(1)$. Così$D^u$ è solo un operatore moltiplicatore, che obbedisce $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, così $\alpha_n=1$ per tutti $n$.

Quindi non ci sono soluzioni lineari per la tua equazione oltre alle solite derivazioni (ad es. $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ per qualsiasi simbolo liscio $a$) e operatori moltiplicatori $D^u(f) = mf$, ovvero operatori di primo ordine e di ordine zero.

D'altra parte, derivati ​​frazionari $D^u$ tendono a obbedire a una "regola della catena frazionaria" $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ per varie funzioni fluide $F,f$, dove l'errore $E$obbedisce a stime migliori in vari spazi di Sobolev rispetto agli altri due termini in questa equazione. In particolare, per$F(t) = t^n$, noi avremmo $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ per un "buon" termine di errore $E$. Ad esempio, taking$u=n=2$ con $D$ il solito derivato, abbiamo $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ con $E$l' operatore " carré du champ "$$ E := 2 (Df)^2.$$ Nota che l'errore $E$ è controllato in modo uniforme da $C^1$ norma di $f$ma gli altri due termini in (3) non lo sono. Vedi la mia precedente risposta MathOverflow suhttps://mathoverflow.net/a/94039/766 per alcuni riferimenti e ulteriori discussioni.

Answer 2

Sembra che tu lo voglia davvero $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, dove $\alpha$ è uno scalare.

Non c'è motivo per cui ciò sia vero, e questo è effettivamente falso in generale. Ad esempio, per$n=2$e la derivata frazionaria di Riemann-Liouville di$f:=\exp$ con $u=1/2$, $a=0$, e $x>0$ noi abbiamo $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ mentre $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ così che $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ è abbastanza diverso da qualsiasi costante.

Inoltre, il termine $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ nell'espressione per $(D^u(f^n))(x)$ qui rispetto al termine $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ nell'espressione per $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ sembra che sia molto improbabile che qualsiasi altro tipo di derivata frazionaria funzioni come desideri.

Answer 3

La formula di Leibniz generalizzata applicabile al classico integroderivativo frazionario è

$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$

dove $D_L$ agisce sulla funzione a sinistra del prodotto e $D_R$sulla funzione giusta. Vedere, ad esempio, regole di Leibniz e analoghi integrali per derivati ​​frazionari tramite una nuova formula di trasformazione di Fugere, Gaboury e Tremblay.

Questa regola di Leibniz generalizzata si applica al frazionario integroderivativo che soddisfa gli assiomi sensibili dati da Pincherle descritti in "Il ruolo di Salvatore Pincherle nello sviluppo del calcolo frazionario" di Francesco Mainardi e Gianni Pagnini - quelli soddisfatti dalla solita derivata elevata a potenze integrali, negativo o positivo. Le ripetizioni di questa operazione sono presentate in questo MSE-Q e possono essere utilizzate per definire la confluenza (vedi questo MO-Q ) e le fcts ipergeometriche regolari.

Queste ripetizioni di $D^{\omega}$sono al centro delle definizioni delle funzioni gamma e beta di Eulero tramite integrali, generalizzazioni dei fattoriali integrali e coefficienti binomiali integrali (vedi la mia risposta a / refs in questo MO-Q ), che la maggior parte dei ricercatori usa frequentemente nei loro sforzi matematici- -contrario ad alcune opinioni espresse su MO. Vedi un esempio della mezza derivata in questo MO-Q (che molti utenti apparentemente confondono con qualche operatore pseudo-differenziale definito dalla trasformata di Fourier).