2つの複素変数の関数方程式
しましょう $X$ コンパクトな距離空間、または単に $X=\mathbb T$、それが役立つ場合は、単位円。の連続した複素数値関数のみを考慮します$X$。
しましょう $\varepsilon >0$。ある$\delta > 0$ 任意の機能に対して $f, g$ オン $X$それはどこにもゼロではなく、任意の機能$d$ と $\|d\|_\infty\leqslant \varepsilon$ （最高基準）2つの機能があります $a,b$ そのような $fa + gb +ab = d$ と $\|a\|_\infty, \|b\|_\infty \leqslant \delta$？
私は円について抽象的な議論をしていますが、ウリゾーンの補題を法として、基本的な解決策があるべきだと感じています。
回答
$Hello$、トマシュ！（何らかの理由で、MOは通常のテキストモードで「こんにちは」または「こんにちは」と言うことを禁止しています）。またお会いできてうれしいです。どうやらあなたはまだ関数かどうか同じ質問をしている$H$ 製品に近い $fg$ 製品として表すことができます $FG$ どこ $F$ に近い $f$ そして $G$ に近い $g$ しかし、今は継続的なカテゴリーにあります。
閉じた単位円板でも「必ずしも」という答えはありません。 $\mathbb D=\{|z|\le 1\}$。明らかな反例は$f(z)=Mz,g(z)=M\bar z$、 $H=M^2|z|^2+\varepsilon$ 巨大な $M$、しかしあなたはそれを要求することによってそれを除外しようとしました $f$ そして $g$どこにも消えない。しかし、それはその日を救うものではありません。実際、非負の連続関数を考慮してください$\varphi, \psi:\mathbb D\to[0,1]$ そのような $\varphi=0$ オン $[0,1]$ そして $\varphi=1$ の小さな近所の外 $[0,1]$ 一方 $\psi$ 間隔に関して同じプロパティを持っています $[-1,0]$。プット$f(z)=Mz\varphi(z)-\frac{\varepsilon}{6M}, g(z)=M\bar z\psi(z)+\frac{\varepsilon}{6M}$。その後、製品$fg$ です $\varepsilon$-厳密に正の関数に近い $H(z)=M^2|z|^2\varphi(z)\psi(z)+\frac\varepsilon 2$。ただし、$H=FG$ そして $F,G$ です $M/10$ に近い $f$ そして $g$ それぞれ、その後の引数 $F$ 本質的にのそれに続く必要があります $f$ 左半円の $|f|$ 大きいので $1/g$ 右半円のどこに $|g|$ 大きい（ $F=H/G$ 両方の引数を制御します $H$ そして $G$）、すなわち、それはのそれから大きく逸脱することはできません $z$ どこでも、回転数は $1$ そして $F$ 内部にゼロを強制されます $\mathbb D$、それ以来不可能です $H>0$ どこにでも。
もちろん、 $X$ が円の場合、この効果は除外され、答えは「はい」になりますが、あなたはそれを自分で知っていると言ったので、ここで停止します。