2つのフィールドの合成の剰余体
Jan 04 2021
[質問]
そんなこと知ってる $K'\cdot K''$ の分岐されていない拡張です $K$ でも理由はわかりません $K'\cdot K''$ 剰余体がある $k'$。
それは常に真実ですか $K_1\cdot K_2$ 剰余体がある $k_1 \cdot k_2$？（どこ$k_1,k_2$ の剰余体です $K_1, K_2$）
命題7.50を証明すれば、「」を使用できると思います。 $K_1\cdot K_2$ 剰余体がある $k_1 \cdot k_2$「この状況では。
しかし、この命題を証明する間、その事実を使用することはできません。
どうすればこれを証明できますか？
ご清聴ありがとうございました。
reference（JSミルンの代数的整数論）とこの投稿 1：同じ剰余体を持つ非分岐拡張の奇妙な推論は同じです。
回答
2 reuns Jan 04 2021 at 01:53
ために $K/\Bbb{Q}_p$ 有限拡大の場合 $F/K$ 分岐していない場合 $F=K(\zeta_n)=K(\zeta_{q-1})$ と $p\nmid n$ そして $q= |O_F/(\pi_F)|$。これは、ヘンゼルレンマの主な用途です。
いつ $E/K,E'/K$ が分岐している場合、の剰余体が常にそうであるとは限りません。 $EE'$ のフィールドを含む最小のフィールドです $E,E'$、試してみてください $E=\Bbb{Q}_2(2^{1/3}),E'=\Bbb{Q}_2(\zeta_3 2^{1/3})$。
いつ $E'/K$ 分岐していない場合 $EE'=E(\zeta_{q-1})$ 剰余体があります $O_E/(\pi_E)(\zeta_{q-1})$。