2つの曲線が共通の接線を持つための条件
曲線を検討する $by=x^2+x+\frac{b}{24}$ そして $bx=y^2+y+\frac{b}{24}$ 両方の曲線に共通の接線がある場合、bはどのような値を取ることができますか？
私は両方の曲線が互いに逆であるか、またはそれらが対称であることに気づきました $y=x$。私の直感では、これが問題の鍵であると思いますが、それ以上進むことはできません。
だから私は形の放物線に接するための一般式を使ってみました $(y-f)^2=4a(x-g)$ これは $y-f=m(x-g)+\frac{a}{m}$ でも表現が複雑になりすぎて、やっとラフスケッチを描いてアイデアを出してみましたが、サブケースが多すぎます。
2分以内に問題が解決することを期待する模擬試験でこの問題に遭遇したので、この問題に取り組むには比較的簡単な方法があると思います。どんな助けでもありがたいです。
編集私は以下に与えられたすべての答えに同意しますしかし私が解決策を見たとき私は彼らが何をしようとしているのか分かりません彼らがどのようにして得たのか理解しています$b=\frac{3}{2} and \frac{2}{3}$。残りの部分がわかりません。
しましょう $a=\frac{1}{b}$ 2つの曲線がP1とP2で交差しているが、P1で最初の曲線に接する場合、y = xに垂直であるため、P1で2番目の曲線に接します。
接線の傾き=$2ax+a$ .as（a、x）はこれを満たします
$2ax+a=-1$ と解決する $x=ax^2+ax+\frac{1}{24}$
$a=\frac{-13+\sqrt{601}}{12}=\frac{1}{b}$
私は与えられたように答えを書きました。それはかなりばかげているように見えます。
回答
放物線は線についてです $y=x$ （それらは線についての互いの鏡像です $y=x$）。したがって、それらの共通の接線も対称になります$y=x$。2つの可能性が生じます：
ケース1： $x=y$ 一般的な接線です：
それらが1つの共通の接線を持たなければならない場合は、 $y=x$ それらの1つで与える $$x^2+(1-b)x+b/24=0$$、この2次方程式は、実数の根を1つだけ持つ必要があるため、条件 $B^2=4AC$ 満たす必要があります： $$(1-b)^2=\frac{b}{6} \implies 6b^2-12b+6=0 \implies b=\frac{13\pm 5}{12} \implies b=\frac{3}{2},\frac{2}{3}.$$ の時だけ $b=3/2, 2/3$ $y=x$ は共通の接線です。
ケース2：いつ $x+y=-k$ 共通の接線です（より一般的）
次に入れます $y=-k-x$ 取得する最初の放物線で $$x^2-(1+b)x+bk+b/24=0$$ 接線のために私達は要求します $B=4AC$、 我々が得る $$(1+b)^2=4bk+b/24 \implies k=\frac{(1+b)^2}{4b}-\frac{1}{24}~~~~(*)$$ そのため、 $b$ $x+y=-k$、これらの放物線に共通の接線がありますか？ $k$ から来た $(*)$。
ケース3：2つの一般的な接線
興味深いことに、 $b=3/2,2/3$ 与える $k=1.$ そう $x+y=1$ そして $y=x$ 与えられた2つの放物線に対する2つの一般的な接線です。
以下の図を参照してください $b=4$ （1つの一般的な接線、 $x+y=73/48.$）および $b=3/2$ （2つの一般的な接線 $y=x, x+y=1$）。
方程式の直線を考えてみましょう
$$x+y=c.$$
放物線と交差します
$$by=x^2+x+\frac b{24}$$ そして排除することによって $y$二次方程式が得られます。判別式は
$$(b+1)^2-\frac b6+4bc$$
そしてそれはキャンセルします（ダブルルート）
$$c=\frac1{24}-\frac{(b+1)^2}{4b}.$$
これは、最初の放物線の接線に対応し、 $x,y$、2番目のものにも接しています。したがって、すべてに共通の接線があります$b\ne0$。
Fi、と $b=4$、
