3 = 0というこの「証明」のエラーはどこにありますか？[複製]
私はこのビデオ（下部のリンク）を見ましたが、その「証拠」と思われます$3=0$。それは次のようになります：
しましょう $x$ の解決策になる $$x^2+x+1=0 \tag1$$
以来 $x\neq0$、両側をで割ることができます $x$： $$\frac{x^2+x+1}{x}=\frac0x\implies x+1+\frac1x=0 \tag2$$
から $(1)$、 $$x^2+x+1=0\implies x+1=-x^2$$
代替 $x+1=-x^2$ に $(2)$ $$\begin{align*} -x^2+\frac1x&=0 \tag3\\ \frac1x&=x^2\\ 1&=x^3\implies x=1 \tag4 \end{align*}$$ 代替 $x=1$ に $(1)$ $$\begin{align*} 1^2+1+1&=0\\ 3&=0 \end{align*}$$
ビデオで与えられた説明は
代用 $x+1=-x^2$ に $(2)$ 無関係な解決策を作成します $x=1$ これは元の方程式の解ではありません $(1)$、 $x^2+x+1=0$。
方程式$(1)$ そして $(2)$ 解決策がある $\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$、しかし、置換後、方程式 $(3)$ これらの2つのソリューションがあり、 $1$。
基本的に、問題は代用していると言っています $x+1=-x^2$、しかし、これが実際に問題であるかどうかはわかりません。置換前のすべてが正しい場合、置換はどのように問題を引き起こす可能性がありますか？
コメントを読んだ後、私は彼らの多くが本当の問題は $(4)$、なぜなら $1=x^3$ それを意味することもあります $x=\frac{-1\pm i\sqrt3}{2}$。これらの解決策を考慮しないことは、「証明」の問題です。また、結論を出す前にこれらの解決策を確認し、正しい方を「選択」する必要があります。
だから、私の質問は、上記の「証明」の問題は何ですか？ $3=0$？
ビデオ：「証明」3 = 0。間違いを見つけることができますか？ https://www.youtube.com/watch?v=SGUZ-8u1OxM。
回答
問題は $x^3=1$ それを意味するものではありません $x=1$。方程式$x^3-1=0$ 3つの可能なルートとルートがあります $x=1$ 追加で生成されたルートです。
方程式のメンバーをそれ自体に置き換えると、エイリアンの解が導入される可能性があります。
例えば $$x=x^2\implies x^2=x^2.$$
最初の方程式も維持すれば、それを行うことができます。
安全な操作は次のとおりです。
両方のメンバーに用語を追加します。
両方のメンバーにゼロ以外の係数を掛けます。
両方のメンバーに可逆変換を適用します。
それ以外のこと（たとえば、両方のメンバーの二乗）は注意して行う必要があります。
それは不可逆的なステップであるため、置換は無関係なルートを引き起こす可能性があります。つまり、$x^2 + x + 1 = 0$、それから私達は持っています $x + 1 + 1/x = 0$、 $x+1 = -x^2$、および置換により、 $$ -x^2 + 1/x = 0. $$ ただし、その逆は当てはまりません。 $-x^2 + 1/x = 0$、それは必ずしもそれを保持するわけではありません $-x^2 = x+1$、それはそれに従うでしょう $x^2 + x + 1 = 0$。
確かに、これが解決策であることがわかります $x = 1$ 収まる：それは満たす $-x^2 + 1/x = 0$、 だがしかし $-x^2 = x+1$。
別の見方：置換は次の乗算で要約できます。 $$ x^2 + x + 1 = 0 \implies\\ (-1 + 1/x)(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -(x^2 + x + 1) + \frac 1x(x^2 + x + 1) = 0 \implies\\ -x^2 + 1/x = 0. $$ 掛け算 $x^2 + x + 1$ 別の要因によって、多項式に別のルートが与えられました。
しましょう $x\ne0$。次に
$$x+1=-x^2\\\iff\\x+1=-\frac1x$$本当です。だが
$$x+1=-x^2\land x+1=-\frac1x\color{red}\iff-x^2=-\frac1x$$ではありません* ！論理的帰結は左から右にのみです。
プロットに示されているように、 $-x^2$ そして $-\dfrac1x$ 交差しますが、交差しません $x+1$。上記の2つをRHSと同等にすることで、情報が失われ、非解決策が導入されます。
※考えてみれば、
$$a=b\implies a=c\land b=c$$ なんでも $c$。