$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4$ 三角形の辺の場合 $a,b,c$ と $ab+bc+ac=1$

Aug 20 2020

とすれば $a,b,c$ は三角形の3辺の長さであり、 $ab+bc+ac=1$、問題は証明することです $$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4\,.$$

任意のアイデアやヒントをいただければ幸いです。

これは、ここに見られるように、BMO(British Mathematical Olympiad)2010/2011のラウンド1の問題6です。

リマーク。この質問は自己回答済みです。それにもかかわらず、新しいアプローチはいつでも歓迎です!

回答

4 SarGe Aug 20 2020 at 18:26

ヒント: LHSを拡張すると$(a+1)(b+1)(c+1)=a+b+c+ab+bc+ca+abc+1.$

さて、 $(1-a)(1-b)(1-c)=1+ab+bc+ca-a-b-c-abc$

両方のIDを追加すると、次のようになります。 $$\prod_{cyc}(1+a)+\prod_{cyc}(1-a)=4$$

4 IncredibleSimon Aug 20 2020 at 19:36

SarGeのヒントのおかげで、私はそれを解決する方法を知っています。今後の参考のために、SarGeのヒントに従って、ソリューションの残りの部分を以下に投稿します。

質問は証明するために減少します $(1-a)(1-b)(1-c)\ge0$。反対を仮定します。その後、どちらか$a,b,c\gt1$、または1つだけ $a,b,c$ 1より大きい( $a$)。前者は矛盾しているので無理$ab+bc+ac=1$明らかに。後者の場合、三角不等式を適用すると、$b+c\gt a\gt1$、 その後 $ab+bc+ac=a(b+c)+bc\gt1$これは矛盾です。したがって、証明は完了です。

3 SimonTerrington Aug 20 2020 at 18:49

OK最初にブラケットを拡張しましょう

$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$

今、私たちはそれを知っています $ab+ac+bc=1$ だから私たちは実際に必要です $abc+a+b+c+1 \leq 3$ または $abc+a+b+c \leq{2}$

以来 $a,b$ そして $c$ 三角形の辺を形成する、私たちはそれを知っています $a \leq b+c$ そして $b \leq a+c$ そして $c \leq a+b$

ここから先に進むのは難しいと思い、結果が本当なのかと思ったので、思考実験をしました。私たちに言わせてください$a,b$ そして $c$ すべて等しい $1/\sqrt{3}$。これは正三角形になり、$ab+bc+ac=1/3+1/3+1/3=1$

次に $(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$=

$1/3 \sqrt{3}+1/3+1/3+1/3+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1=$

$1/3\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1$

どちらにする必要があります $\leq{4}$

Iff $1/3\sqrt{3} +\sqrt{3} \leq2$

iff $1/3+3 \leq 2\sqrt{3}$。それは本当です。

別の極端なケースを考えてみましょう: $a$ そして $b$ すぐ下にあります $1$ そして $c$ に近い $0$ それから私達はまた持つことができます $ab+ac+bc=1$。ここに$(a+1)(b+1)(c+1)$ また、すぐ下になります $4$だから私は不平等が正しいと信じています。必要なことを示すことができます$abc+a+b+c \leq{2}$しかし、今それを行う方法がわかりません。について考える。しかし、三角不等式はまだ使用していないので、必要だと思います。

それを終えることができないことは私を殺しています:)

3 MichaelRozenberg Aug 22 2020 at 12:51

証明する必要があります $$abc+a+b+c\leq2$$ または $$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2\leq4(ab+ac+bc)^3$$ または $$\prod_{cyc}(a(b+c-a)+bc)\geq0$$ これで完了です。

次の方法で最後の因数分解を得ることができます。

ために $ab+ac+bc=a^2$ 私達は手に入れました: $$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2=(abc+(a+b+c)a^2)^2=a^2(a^2+ab+ac+bc)^2=$$ $$=(ab+ac+bc)(2(ab+ac+bc))^2=4(ab+ac+bc)^3$$ 対称多項式を扱うので、必要な因数分解が得られました。