与えられた（1次元）葉に適応したリーマン計量の多様性、KerinMillmanの視点
しましょう $X$ 2次元トーラス上のクロネッカーベクトル場である $\mathbb{T}^2$。しましょう$K$ すべての1-形式のスペースになります $\alpha$ クラスの $C^1$ オン $\mathbb{T}^2$ 満足する $d\alpha=0,\;\alpha(X)=1$。次に$K$ すべての凸閉集合です $C^1$ 1-フォーム $\mathbb{T}^2$。
です $K$ に関する1-フォームの空間のコンパクトサブセット $C^1$トポロジー？答えが肯定的である場合。ケリンミルマンの定理によると、その極値の前提となる説明は何ですか$K$？
のトポロジー構造は $K$ ベクトル場の選択に依存します $X$トーラスの最初のクロネッカー葉に接しますか？のトポロジー構造は$K$クロネッカーの葉の傾斜に依存しますか？
動機：
この質問の動機は次のとおりです。
この投稿と他のいくつかの関連するリンクされた投稿では、消えないベクトル場の軌道と互換性のあるリーマン計量を見つけようとします。さまざまなメトリックを選択することで、さまざまな曲線関数を使用できます。ガウスボネの定理をvctorフィールドのリミットサイクルの問題に適用するには、適切な曲率関数を使用することが非常に重要です（閉測地線としてカウントする場合）。したがって、この状況から、閉微分1形式の多様性について考えるようになります。$\alpha$ と $\alpha(X)=1$。これらの条件下で、特にこの集合の閉じた凸面の性質$K$。の可能な極値点のpresice記述について興味を持ちたくなる人がいます$K$。
備考：この質問を一般化するために$n$ すべての1形式の空間を考慮する必要がある次元空間 $\alpha$ と $i_X d\alpha=0,\;\alpha(X)=1$。
回答
コンパクトではないと思いますが、正規化条件を見逃しているのではないでしょうか。
しましょう $X=\partial_x+a\partial_y$、と $a$不合理（以下については実際には関係ありません）。しましょう$\alpha\in C$ （例えば $\alpha=dx$）そして $\omega_\lambda=\lambda(a dx-dy)$、 ために $\lambda\in \mathbb R$。なので$X$ のカーネルに住んでいます $\omega_\lambda$、および $d\omega_\lambda=0$、その後 $\alpha+\omega_\lambda\in C$。