与えられたフーリエ係数を持つ円上の確率測度の存在

Question

エルミート対称（すなわち、 $f_{-n} = f_n^*$ のために $n \in \mathbb{Z})$ シーケンス $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ 正の値である場合、 $N \geq 0$ および任意の $z_0 , \ldots, z_N \in \mathbb{C}$、\ begin {equation} \ sum_ {n、m = 0} ^ N f_ {nm} z_n z_m ^ * \ geq0。\ tag {1} \ end {equation}

Herglotz-Bochnerの定理によれば、エルミート対称シーケンス $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$ と $f_0 = 1$ 確率測度が存在する場合に限り、正定値です $\mu$ サークル内 $\mathbb{T} = \mathbb{R} / \mathbb{Z}$その結果、\開始{式} f_n = \帽子{\ MU} _n = \ INT _ {\ mathbb {T}} \ mathrm {E} ^ {2 \ PI \ mathrm {I} NX} \ mathrm {D} \ムー（x）。\ end {equation}

今、私はベクトルを与えられていると仮定します $(f_{-N_0} , \ldots, f_0 , \ldots , f_{N_0}) \in \mathbb{C}^{2N_0+1}$ そのような $f_0 = 1$ そして $f_{-n} = f_n^*$ のために $|n|\leq N_0$ そして、（1） $N \leq N_0$。ベクトルを完成させることは常に可能ですか？$(f_n)_{|n|\leq N_0}$ 正定列に $(f_n)_{n\in \mathbb{Z}}$、または同等に、確率測度は常にありますか $\mu$ に $\mathbb{T}$ そのような $\hat{\mu}_n = f_n$ ために $|n|\leq N_0$？

Answer 1

はい、これは機能します。条件（1）は$\int |p(e^{ix})|^2\, d\mu(x)\ge 0$ すべての多項式に対して $p(z)=\sum_{n=0}^N p_n z^n$。よるフェイエール-Rieszの定理、これらの正方形$|p|^2$ 三角多項式の正確な範囲 $f=\sum_{|n|\le N} f_n z^n$ と $f\ge 0$ オン $|z|=1$。

したがって、このベクトル空間に正線形汎関数があります $\{ f = \sum_{|n|\le N} f_n z^n \}$。これは、上の正線形汎関数に拡張できます。$C(T)$; 背景についてはこちらをご覧ください。この拡張により、必要な測定値が得られます。