場合 $f$ 連続している $f$ 一様連続である場合 $|f|$ 一様に連続している
場合 $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ 連続している $f$ 一様連続である場合 $|f|$ 一様に連続しています。
地図 $f$ 距離空間から $M=(M,d)$ 距離空間へ $N=(N,\rho)$ すべての場合、一様に連続であると言われます $\epsilon>0$、が存在します $\delta>0$ そのような $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ いつでも $x,y \in M$ 満足させる $d(x,y)<\delta$。
明らかに、もし $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ 一様に連続している場合 $|f|$ として均一に連続している $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$しかし、私は逆の部分を示すのに本当に苦労しています。地域で$f$ 常に正または負である場合、問題はありませんが、ポイントに対処する方法 $f$符号を変更しています。の零点の場合$f$ 有限である場合、すべての最小値を取ることもできます $\delta$sそして結果を結論付けます。ゼロの場合はどうなりますか$f$ 無限ですか？
回答
コメントで述べたように、ここで与えられた証明は、全体で機能するように簡単に変更できます。$\mathbb{R}^n$。
以来 $\lvert f \rvert$ 一様に連続している、存在する $\delta > 0$ そのような \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} 次の場合に注意してください $f(x)f(y) > 0$、その後 \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} 未満です $\epsilon/2$ いつでも $d(x,y) \leq \delta$。当然のことながら、このケースは非常に些細なものでした。ここで、次の場合に注意を向けます。$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$。それは常にそれを保持しているので\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} それを示すだけで十分です $\star$ の存在を意味します $z$ そのような $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ そして $f(z) = 0$。なぜなら\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} いつでも $d(x,y) \leq \delta$。以来$f$ 継続的であり、適切な存在 $z$ の連続性から続く $f$ そして $\star$（中間値の定理の結果として、たとえばここを参照してください）。