場合 $f$ は実際の関数であり、 $a$ そして $f(a) < M$、その後、オープンインターバルがあります $I$ そのようなものを含む $f(x) < M$ すべてのために $x \in I$。

Question

私はに関する問題持って、その後I.の中のすべてのxに対して、その結果f（x）が答えは。使用した場合$\epsilon =M-f(a)$ これも $\epsilon >0$ そして $ \exists$ $ \delta>0$ オープンインターバルがあります $I$ そのようなものを含む $f(x)<M$ すべてのために $x \in I$。これも正しいと思いますが、確かではありません。

誰かが私の答えを確認できますか？

$\underline{Edit}$

さあ、 $\epsilon = {M-f(a)}$、明らかに $\epsilon >0$、したがって、オープン間隔が存在します $I=(a-\delta, a+\delta)$、そのような $x\in I$、 $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ 保持します。

その結果 $f(x)<M$ すべてのために $x \in I$

Answer 1

その条件 $f$ で継続しています $a$ことを示している\は{式}（X \右）=（\右）左\ fを左\ F {にX \} \ lim_を始めます。\ end {equation}つまり、次の命題があります。\ begin {equation} \ forall \ epsilon> 0、\ exists \ delta> 0、\ forall x、0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left（x \ right）-f \ left（a \ right）\ rvert <\ epsilon。\端{式}そして、我々はその命題有する左\ F（\右）<M. \端{式} {式を}開始\という事実を使用して$M - f\left(a\right) > 0$、\ begin {equation} \ examples \ delta> 0、\ forall x、0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left（x \ right）-f \ left（a \ right） \ rvert <M-f \ left（a \ right）、\ end {equation}これは、\ begin {equation} \が\ delta> 0、\ forall x、0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \が存在することをさらに示します。longrightarrow f \ left（x \ right）<M。\ label {main} \ end {equation}そのようなオープン間隔がない場合$I$ それ $f\left(x\right) < M$ すべてのために $x \in I$、次の命題があります：\ begin {equation} \ forall \ delta> 0、\ exists x、0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left（x \ right）\ geq M、\ label {sub} \ end {equation}これは明らかに私たちの結論と矛盾しています。