場合 $(\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}, \otimes)$ グループである、それを証明する $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$ 素数です。
しましょう $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$。合同クラスを定義する$\overline x$ なので
$$\overline x = \{c\in\mathbb{Z}\;|\; c-x\equiv0\pmod{n}\}$$
定義する $\mathbb{Z}_n$、モジュロを法とするすべての合同クラスのセット $n$：
$$\mathbb{Z}_n = \{\overline0, \overline1, \ldots, \overline{n-1}\}$$
最後に、操作を定義します $\otimes$ なので
$$\overline{a} \otimes \overline{b} = \overline{a\times b}$$
どこ $a\times b$ の通常の乗算を表します $\mathbb{Z}$。
ベズーの定理を使用する（ $a,b\in\mathbb{z}$、その後 $\gcd(a, b) = 1 \iff \exists u, v\in\mathbb{Z}$ そのような $au+bv = 1$。） $(\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}, \otimes)$ はグループです $n$ 素数です。
私の試み：
取る $\overline x\in\mathbb{Z}_n\setminus\{0\}$。セット$\overline x$ すべてが含まれています $c\in\mathbb{Z}$ 次の合同を満たします。
$$c-x \equiv0\pmod{n}$$
言い換えると、
$$x \equiv c\pmod{n}$$
したがって、一部の人にとっては $m\in\mathbb{Z}$、
$$c^{-1}\cdot x \equiv 1\pmod{n} \implies c^{-1}\cdot x = 1 + m\cdot n$$
これを再配置し、ベズーの定理を使用すると、次のようになります。
$$c^{-1}\cdot x - m\cdot n = 1 \implies \gcd(x, n) = 1$$
以来 $\overline{x}$ 恣意的に取られた、と言うことができます $n$ 素数です。
コメント：
私は実際に群公理を使用したことがなく、仮定したので、これは正しくないと思います $c^{-1}$ 存在します。
私がどこで間違っているのか見つけられますか？
回答
グループの公理はそれを要求します $c^{-1}$存在するので、そのうちの1つを使用しました。もっと簡単なアプローチは、$n$ 素数ではないので、2つの数に因数分解できます $a,b \in \Bbb Z_n$。その場合、乗算演算は定義されていません$a \otimes b$、したがって、グループではありません。