場合 $P(x)$ は次数3の多項式です $x$、および $y^2 = P(x)$、それを示す $\frac{D(y^3D^2y)}{y^2}$ 一定です

Question

場合 $P(x)$ は次数3の多項式です $x$、および $y^2 = P(x)$、それを示す $$\frac{D(y^3D^2y)}{y^2}$$

は定数です。ここで、Dは微分演算子を示します。

上記の表現を次のように表現してみました $P$ およびその派生物（派生物を示すことを期待して $0$）しかし、私はそれをなんとかすることができませんでした。

Answer 1

最初に検討する $$Dy = \frac{1}{2y}Dy^2$$ そして $$D^2y = D(\frac{1}{2y}Dy^2) =\frac{-1}{2y^2}(Dy)(Dy^2) + \frac{1}{2y}D^2y^2 = -\frac{1}{4y^3}(Dy^2)^2 + \frac{1}{2y}D^2y^2 $$ したがって、式の分子は次のようになります。 \begin{align} D(y^3D^2y) &= D(-\frac{1}{4}(Dy^2)^2 + \frac{y^2}{2}D^2y^2) \\ &=-\frac{1}{2}(Dy^2)(D^2y^2) + \frac{1}{2}(Dy^2)(D^2y^2) + \frac{y^2}{2}D^3y^2 \\ &=\frac{y^2}{2}D^3y^2 \end{align} すると元の表現は $$\frac{D(y^3D^2y)}{y^2} = \frac{1}{2}D^3 y^2$$ 場合 $y^2 = ax^3+bx^2+cx+d$、その後 $$\frac{D(y^3D^2y)}{y^2} = 3a$$