バックグラウンドフィールドの有効アクションが真空グラフのみを生成するのはなぜですか？

Question

LFアボットの「身元の方法の紹介」を参照します。バックグラウンドフィールド生成関数は

$$ \tilde{Z}[J,\phi] = \int \mathcal{D}Q \exp i[S[Q+\phi] + J.Q], \text{ where } J.Q := \int d^{d}x J(x) Q(x).$$

接続された図のジェネレータは次のとおりです。

$$ \tilde{W}[J, \phi] = -i \log \tilde{Z}[J,\phi]$$

そして

$$ \tilde{\Gamma}[J,\phi] = \tilde{W}[J,\phi] - J.\tilde{Q} \text{ where }\tilde{Q} := \frac{\delta{\tilde{W}}}{\delta J}$$ との類推によって $W[J]$ そして $\Gamma[\bar{Q}]$。論文に示されているように、効果的な行動を得るために、私たちは

$$\tilde{\Gamma}[0,\phi] = \Gamma[\phi], \text{ and evaluate } \tilde{\Gamma}[0,\phi] .$$

事実 $\tilde{\Gamma}[0,\phi] $脚のない1PIグラフ（真空グラフ）を生成すると、計算がはるかに簡単になります。私の質問は：その事実はどうですか？$\tilde{\Gamma}$ は独立しています $\tilde{Q}$ 真空グラフのみにつながる？

Answer 1

有効作用 $\Gamma[\phi_{\rm cl}; \phi_{\rm bg}]$（バックグラウンドで $\phi_{\rm bg}$）は、1PI相関関数の母関数です。たとえば、このPhys.SEの投稿。特に、$\Gamma[\phi_{\rm cl}\!=\!0; \phi_{\rm bg}]$ は1PI0-pt相関器です。つまり、1PI真空図で構成されます（バックグラウンドで） $\phi_{\rm bg}$）。