べき級数の点ごとの一様収束

Question

の点収束と一様収束を確認したい $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^ne^{-n}}{\sqrt{n}}$$

ポイントワイズ収束のために、シーケンスの限界をチェックしますか？

私は次のことを意味します： $$a_n=\frac{x^ne^{-n}}{\sqrt{n}} \rightarrow \lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{x^ne^{-n}}{\sqrt{n}}=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{x^n}{\sqrt{n}e^{n}}=0$$ したがって、級数は点ごとに収束します。 $0$。

あれは正しいですか？

そして、一様収束のために、シーケンスもチェックしますか？

それとも、シリーズのために何か他のことをする必要がありますか？

Answer 1

べき級数のよく知られているコーシー-アダマールの定理$\sum\limits_{n=0}^{\infty}(z-z_0)^nc_n$ いわゆる収束半径があります $\frac{1}{R}=\lim\limits_{n \to \infty}\sup\sqrt[n]{|c_n|}$。私たちの場合には

$$\sqrt[n]{\frac{e^{-n}}{\sqrt{n}}} \to \frac{1}{e}=\frac{1}{R}$$

したがって、次の点収束があります。 $|x|<e$。右の境界点では、$\frac{1}{\sqrt{n}}$ 左収束用 $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。

知られているように、収束間隔内の各閉じたセグメントに均一な収束があります。