ベクトル束としての接束

Question

構築するには $\pi:TM \to M$ ベクトル束として、

ローカル関数を見つける必要があります $\Phi:\pi^{-1}(U)\to U\times \mathbb{R}^k$ のローカルtrivilazationとして $TM$ オン $U$

この関数を定義します $\Phi$ スムーズなチャートで次のように $(U,(x^i))$：

$$\Phi(v^i\frac{\partial }{\partial x^i}|_p) = (p,(v^1,...,v^n))$$

問題は、それが繊維上で線形であることをどのように証明するかです。

私は定義上、チェックするだけで十分であることを知っています $\Phi(V_p +W_p) = \Phi(V_p)+ \Phi(W_p)$ どこ $V_p \in T_pM$ 式で $V_p = v^i\frac{\partial }{\partial x^i}|_p$

これをする $$\Phi((v^i+w^i)\frac{\partial }{\partial x^i}|_p) =(p,(v^1+w^1,...,v^n+w^n)) \ne (2p,(v^1+w^1,...,v^n+w^n)) = \Phi(V_p)+ \Phi(W_p)$$

追加がないので、私の証明の何が問題になっていますか $U\subset M$ したがって、これは明確に定義されていません。の終域以来、ファイバー上で線形であることを示す方法がわかりません。 $\Phi$ はベクトル空間ではなく、その一部のみがベクトル空間です。

Answer 1

私たちはそのようなものを持っていません $2p$ にとって $p\in M$。
自明なバンドルのベクトル空間構造$U\times\Bbb R^n$もちろん定義されたfibrewiseです：$$(p,v)+(p,w):=(p,v+w)$$