ベクトル場が接空間の非交和のセクションとして定義されているのはなぜですか？それは過度に複雑ではありませんか？
接束を定義するのが通常です $TM$すべての接空間の非交和として、そしてベクトル場をのセクションとして定義する\begin{align} TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM=\bigcup_{p\in M}T_pM\times\{p\}&\to M\\ (v,p)&\mapsto p \end{align} （私はジョン・リーの本を読んでいます。そこでは、接線ベクトルが導関数として導入されています。 $T_pM\cap T_qM\neq\emptyset$。）
単純に定義してみませんか $TM=\bigcup_{p\in M}T_pM$ ベクトル場は地図だと言う $\omega\colon M\to TM$ と $\omega_p\in T_pM$ すべてのために $p\in M$。
これはベクトル場の本質的な特性ではありません：それはすべてに割り当てられます$p\in M$ の要素 $T_pM$？
微分形式についても同様の疑問が生じます。
質問を明確にする試み：微分形式の観点からマクスウェル方程式についての話を準備する必要があり、多様体が何であるか、テンソルが何であるかを知らない聴衆がいます。私はこのようなもののクラッシュコースのために30分を持っています。これは、私ができるだけ多くの情報を省かなければならないことを意味します、しかし私は私が言うすべてが正しいことを望みます。ですから、私が自分自身に問いかけたのは、非交和とセクションが何であるかを説明せず、単に上記の私の定義を与えると、何かを見逃してしまうのでしょうか。接束を通常の和集合ではなく接空間の非交和として定義する正当な理由はありますか（セクションの概念を導入したい以外に）？しかし、これは私がこの話をする前にすでに自分自身に尋ねた質問です。
回答
ここには2つの大きな問題があります。
まず第一に、ユニオンがばらばらにならず、まったく意味をなさない唯一の方法は、接空間が共通の普遍集合に存在すると想定される場合ですが、これは一般的には当てはまりません。
第二に、たとえばユークリッド空間内に多様体を埋め込むことによって、共通の宇宙に接線空間を埋め込んだとしても、接線ベクトルと点の間の線がぼやけ、点が別個に存在するため、通常の結合を取ることによって重要な情報が失われます接空間が識別される場合があります。たとえば、に埋め込まれた円の接束について考えてみます。$\Bbb{R}^2$、次の図のように：
通常の組合を取ることにより、あなたはのサブセットを取得します $\Bbb{R}^2$接束としての赤のすべての点で構成されます。しかし、複数の線上にあるすべての点は、それらが属する接空間を「忘れ」ます。たとえば、ポイント$(1,1)$ の接空間にあります $(1,0)$ の接空間と同様に $(0,1)$。したがって、正規の全射を失います$\bigcup_p T_pM \to M$これは、とりわけ、接束に多様体構造を与えるために使用されます。災害！
最後に、ベクトル場について言及する部分に対処するために、そのようなオブジェクトはマップの単なる集合論的セクションではないことに注意することが重要です。 $\bigcup_p T_pM \to M$; それらは連続または滑らかなセクションです。そして、これが意味をなすためには、接束にトポロジー/滑らかな構造が必要です。
仮定します $M \subset \mathbb{R}^n$部分多様体です。次に、その接束をすべての接線ベクトル空間の和集合として定義できます。$T_pM$ に $M$ ポイントで $p$。問題は、ここで「結合」として理解されるべきものです。
のサブセットとしてそれを和集合として定義するとします。 $\mathbb{R}^n$。たとえば、$M = \mathbb{R} \subset \mathbb{R}$、次に各点で接空間は $\mathbb{R}$、したがって、すべての接線サブセットはの同じ部分空間に等しい $\mathbb{R}$、すなわち $\mathbb{R}$、そして彼らの組合もそうです。
今、仮定します $M = \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2$。次に、任意のベクトル線$D$円の点の接空間として見ることができます。したがって、ここでは、のサブセットとしての通常の結合$\mathbb{R}^2$ のすべてのベクトル線の和集合になります $\mathbb{R}^2$、これは $\mathbb{R}^2$。
これらの構造は、依存するだけでなく、「外因性」です。 $M$ だけでなく、周囲の空間にも $\mathbb{R}^n$。たとえば、$M \subset \mathbb{R}^n \simeq \mathbb{R}^n\times\{0\} \subset \mathbb{R}^m$、次に「異なる」を定義できます $TM$"、視点によって異なります（同型であっても）。
しかし、これら2つの例では、和集合のランダムな要素を取得すると、それがどの点で接しているのかわかりません。あなたは多くの幾何学的感覚を失います。
これを回避するためのアイデアは、非交和をとることです。 $$TM = \bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_pM.$$この結合の要素は次の形式です$(p,v)$ と $v \in T_pM$、したがって、各要素の構成には、前の例よりも多くのデータが含まれています。
最初の例では、この構造は $T\mathbb{R} = \bigcup_{p\in\mathbb{R}} \mathbb{R} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}$、および接線ベクトルは次の形式になります $(x,t)$ どこ $t$ に接している $x$。
サークルの場合、 $T\mathbb{S}^1 = \bigcup_{\theta \in \mathbb{S}^1} \{\theta\} \times T_{\theta}\mathbb{S}^1$、など。
抽象多様体の場合、「全体空間」がないため、接空間の通常の和集合は、同じ固定集合の部分空間の和集合として定義することはできません。したがって、それを拡張することができなかったので、それは悪い構造だったでしょう。しかし、非交和は、一般的な多様体について定義することを可能にします$M$ ユークリッド空間に埋め込まれていない、 $$T_pM = \bigcup_{p\in M}\{p\}\times T_pM,$$ どこ $T_pM$ の本質的な概念です $M$、微分構造のみに依存します。
さらに、この構造は、接空間にファイバーバンドルの自然な構造があることを示しています $TM$ （これはより一般的な概念です）、そしてこの構造は自動的に滑らかな機能を与えます $\pi : TM \mapsto M$ それはただの予測です $(p,v) \mapsto p$。
「各点で」という考えでベクトル場を定義したい場合 $p$ 接線ベクトルがあります $p$"、この構造を連続マップとして使用して厳密に定義できます $X : M \to TM$ そのような $X(p) = (p,v_p)$。これは、$X$ の（連続）セクションです $\pi$、 あれは $\pi\circ X = \mathrm{id}_M$。通常、ベクトル場は滑らかである必要があります。つまり、$X$ 滑らかです（滑らかなセクション）。
編集：幾何学者が非専門家と話をしなければならないとき、聴衆が多様体、ベクトル束などの私たちが使用する主要なオブジェクトを知らない間に明確なプレゼンテーションをすることは一般的な問題です。経験はこれです：本当に重要なのが幾何学的な意味であるならば、過度に複雑な定義を与える時間を無駄にしないでください。多様体は、サーフェスなどの定義を拡張できる幾何学的概念であるとだけ言ってください。接線ベクトルを視覚的に定義します。接線フィールドは、バンドルについて話さずに接線ベクトルのフィールドであると言います。コベクターについても同じです。バンドル内の演算子について話す必要がある場合は、それらがベクトルに対してどのように作用するかについて話します。あなたは多くの時間を得るでしょう、そして聴衆はあなたがいくつかの過度に複雑な厳密な発言をした場合よりもおそらくもっと多くのことを理解するでしょう。
ここにはたくさんの良い答えがあり、そのすべてが状況の特定の部分を解明しています。しかし、言及されていない重要な点が1つあります。SmoothManifoldsの本で使用している接空間の定義では、ゼロの導出は次の要素です。$T_pM$ すべてのための $p\in M$したがって、接束の定義で非交和を使用しない場合、接空間はすべて交差します。この回答も参照してください。
これは、数回書かれたものを書き直しているだけですが、 $M\subset \Bbb R^N$、その後 $$TM = \{(x,v): x\in M, v\in T_xM\}\subset M\times\Bbb R^N.$$あなたの宇宙があります。もちろん、抽象的な多様体の場合、これは意味がありません。代わりに使用できる賢明なものがないからです。$\Bbb R^N$。
Here's an explanation that will fit into the time allotted for your crash course:
Physicists will sometime say that two vectors are the same if they point in the same direction and have the same base point.
As the abstraction that mathematicians have adopted for vectors doesn't include the base point, "$\times \{p\}$" is how they label each vector with its base point. By the way, this is also probably how computer programmers would go about it too.