ボールの境界を接着することによる低次元多様体
閉じた2多様体を描画する1つの方法は、ディスクを使用することであることを思い出してください。 $D^2$、の細胞分解を取る $\partial D^2$、このセルラー分解で頂点をペアリングして、ペアリングがエッジを保持するようにしてから、 $D$ 境界のこの商と一緒に。
これは他の次元でも行うことができます。たとえば、次元3では、すべての閉じた3次元多様体は、次の場合と同様の手順で取得できます。 $B^3$、の細胞分解を取る $\partial B^3$、このセルラー分解の頂点をペアにして、ペアがエッジと面を保持するようにしてから、の商を調べます。 $B^3$ このペアリングによって。
ThrelfallとSeifertは、ポアンカレホモロジー球に対してこれを行いました（たとえば、ここを参照してください。これには、Kreinesによる別のそのような記述も含まれています）。実際、彼らは$\partial B^3$十二面体になります。セルレーションが正多面体であるような方法で得られたすべての3次元多様体の完全な（おそらくかなり短い）リストはありますか？$T^3$、 $\mathbb{R}P^3$、およびザイフェルトウェーバー空間は、頭に浮かぶ他の例です。ポアンカレのホモロジー球は、おそらくそのリストにある唯一のホモロジー球だと思います。より一般的には、単純なセルレーションを使用して、このように発生する3次元多様体のリストを調べたいと思います。
これは、次元4でも同様の方法で実行して、すべての滑らかな閉じた4次元多様体を生成できます。これがどこかで行われている素晴らしい写真/例はありますか？こんな写真が見たいです$S^2 \times S^2, T^4, \mathbb{C}P^2,...$
回答
正多面体の面を接着することによって得られたこの閉じた向き付け可能な3次元多様体は、Everittによって分類されました。
これは、二面角が等しい正多面体の場合であり、接着は幾何学的に行われます。しかし、接着をトポロジー的に行うことも可能であり、その問題については、部分的な答えしかありません。四面体の面を接着することによって得られる3つの閉じた向き付け可能な3次元多様体があります。彼らです$S^3$、 $L(4,1)$、および $L(5,2)$。明示的な接着は、JacoとRubinsteinのこの論文の図2に見ることができます。
八面体の面を接着することによって得られる17個の閉じた向き付け可能な3次元多様体があり、そのうち13個は素数です。それらは、Heard、Pervova、およびPetronioによるこのペーパーの提案4.2にリストされています。
おそらく、立方体から得られた閉じた向き付け可能な3次元多様体が列挙されていますが、参照はわかりません。それらは含まれています$\mathbb{R}P^3$、3次元多様体、および他の閉じた向き付け可能なユークリッド3次元多様体の少なくとも2つ。十二面体と二十面体から得られる3次元多様体はたくさんあると思いますが、誰もがそれらすべてを列挙しているとは思えません。
4次元多様体については、境界に5つの四面体があり、これによりパリティが発生するため、単一の五胞体（4シンプレックス）から得られる4次元多様体はないことに注意してください。問題。