ボットトゥ演習6.14、ファイバーに沿った統合
仮定します $\pi:E\to M$ 指向です $C^\infty$ ランクのベクトル束 $n$。で表す$\Omega_{cv}^k(E)$ すべての差分のセット $k$-フォーム $\omega$ オン $E$、コンパクトごとに $K\subset M$、 $\pi^{-1}(K)\cap \text{supp}(\omega)$コンパクトです。特に、制限のサポート$\omega|_F$各ファイバーにコンパクトです。仮定する$\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}$ のための指向の些細なことです $E$。オン$\pi^{-1}(U_\alpha)$、そのような形 $\omega$ いずれかのタイプの形式の合計として一意に表現されます $(\pi^*\phi)f(x,t_1,\dots,t_n)dt_{i_1}\cdots dt_{i_r}$ と $r<n$、または $(\pi^*\phi)f(x,t_1,\dots,t_n)dt_1\cdots dt_n$。（ここに$x_1,\dots,x_n$ 上の座標関数です $U_\alpha$ そして $t_1,\dots,t_n$ 上のファイバー座標です $\pi^{-1}(U_\alpha)$ によって与えられた $\phi_\alpha$。マップを定義します$\Omega_{cv}^*(E)\to \Omega^*(M)$ 最初のタイプのフォームをゼロに送信し、2番目のタイプのフォームを $\phi \int_{\Bbb R^n} f(x,t_1,\dots,t_n)dt_1 \dots dt_n$。
演習6.14は、このマップが明確に定義されていることを示すように求めています。仮定します$U_\alpha \cap U_\beta $空ではありません。その後、$\pi^{-1}(U_\alpha \cap U_\beta)$、2番目のタイプの形式は次のように表すことができます $$(\pi^*\phi)f(x,t_1,\dots,t_n)dt_1\cdots dt_n=(\pi^* \tau)g(y,u_1,\dots,u_n) du_1\cdots du_n.$$ それから私はそれを示さなければなりません $$\phi \int_{\Bbb R^n} f(x,t_1,\dots,t_n)dt=\tau \int_{\Bbb R^n} g(y,u_1,\dots,u_n)du,$$しかし、私は立ち往生しました。ヒントはありますか？
回答
と仮定する $U_a$ そして $U_b$ 比較的コンパクトで $\varphi$、 $\psi$ そのチャート $M$。線形性の議論により、あなたは次のように仮定することができます
$$ \phi = h_1 dx_{i_1} \wedge \cdots dx_{i_k} $$
と同じ $\tau$ 係数付き $h_2$。一般性を失うことなく仮定する$k = m = \dim M$。しましょう$T$ そして $S$ の座標 $t$ そして $s$ に $\mathbb{R}^n$。適応したチャットを$E$ $(U_a \times \mathbb{R}^n,\varphi \times T)$ そして $(U_b \times \mathbb{R}^n,\psi \times S)$。
我々は持っています $\pi^*\phi = h_1 \circ \pi \pi^*(dx) = h_1dx$これらの座標で。そう
$$ \pi^* \phi f(x,t)dt = h_1(x)f(x,t)dx\wedge dt $$一方、diffの変数変換を使用します。フォーム$$ \pi^* \tau gds = (h_2 \circ \psi \circ \varphi^{-1})(g \circ \psi \circ \varphi^{-1}) \cdot Jac(\psi \circ \varphi^{-1}) Jac(S \circ T^{-1}) dx \wedge dt = h_1 fdx\wedge dt $$ 私たちはそれを推測します $$h_1f = (h_2 \circ \psi \circ \varphi^{-1})(g \circ \psi \circ \varphi^{-1}) \cdot Jac(\psi \circ \varphi^{-1}) Jac(S \circ T^{-1})$$
最後の式はに統合することができます $(U_c = U_a \cap U_b) \times \mathbb{R}^n$ フビニの定理と積分および以前の定義の変数変換を使用します $$ \int_{U_c \times \mathbb{R}^n}\phi f(x,t)dx\wedge dt = \int_{U_c \times \mathbb{R}^n}\tau g(y,s)dy \wedge ds. $$ 最後に、パラメトリック引数とを使用して $U_a$ そして $U_b$ コンパクトに
$$ \phi \int_{\mathbb{R}^n} f(x,t)dt = \tau \int_{\mathbb{R}^n}g(y,s)ds. $$
あなたはもう少し注意する必要があります $k < n$微分形式の変数変換が少し違うからです。タイプミスがある場合は修正してください。