分割サポートを使用した2Dベクトルのコンポーネントの独立性。
しましょう $Z:=(X,Y)$ 絶対に継続する $\mathbb{R}^2$-密度のある値の確率変数 $\zeta\in C(\mathbb{R}^2)$。
サポートが $C:=\mathrm{supp}\,\zeta \stackrel{\mathrm{def}}{=}\overline{\{\zeta>0\}}^{|\cdot|_2}$ それぞれの密度が2つの連結成分に分割できます $\zeta$ 因数分解する、すなわち、
$$C=C_1\sqcup C_2, \ \ C_1, C_2 \text{ connected,}\quad \text{such that}\quad \left.\zeta\right|_{C_i}\!\equiv \left.\zeta\right|_{C_i}\!(x,y) = \alpha_i(x)\cdot\beta_i(y) \quad(i=1,2)$$ 一部の機能について $\alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 : \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$。
コンポーネントを推測できますか $X$ そして $Y$ (の $Z$)独立していますか?
回答
非常に特殊な場合を除いて、独立させることはできません。それらが独立している場合は$\zeta (x,y)$ 形があります $f(x)g(y)$。に$C_1$ 我々が得る $f(x)g(y)=\alpha_1(x)\beta_1(y)$ どの力 $f(x)$ の倍数になる $\alpha_1(x)$実数直線全体にae。同様に、$f(x)$ 一定の時間です $\alpha_2(x)$全体のラインで。この力$\alpha_1$ の倍数になる $\alpha_2$。同様に、$\beta_1$ の倍数である必要があります $\beta_2$。