分割することは可能ですか $(\Bbb R,+)$ 4つの付加的に閉じたサブセットに？
分割することは可能ですか $(\Bbb R,+)$4つの付加的に閉じたサブセットに？
それを1と2と3の加法的に閉じたサブセットに分割するのは簡単です。2つのサブセットの例：$(\Bbb R^{\geq 0},+)\cup(\Bbb R^{< 0},+)$。しかし、それは4つの加法的に閉じたサブセットで可能ですか？どうですか$k$ 付加的に閉じたサブセット？
回答
分割できます $(\Bbb R^n,+)$ 3つのサブセミグループに $H^n_+=\{x\in\Bbb R^n\,:\, x_n>0\}$、 $H^n_-=\{x\in\Bbb R^n\,:\,x_n<0\}$ そして $\Bbb R^{n-1}\times\{0\}$。したがって、$\Bbb R^{n-1}$ に分割することができます $k$ サブセミグループ、次に $\Bbb R^n$ に分割することができます $k+2$サブセミグループ。さあ、$m$ 次のような最小の正の自然数である $(\Bbb R,+)$ で分割することはできません $m$サブセミグループ。あなたが言ったように、$m\ge3$、および定義上 $(\Bbb R,+)$ で分割することができます $m-2$サブセミグループ。しかしその後$(\Bbb R^2,+)$ で分割することができます $m$サブセミグループ。しかし、AC（選択公理）のおかげで、$(\Bbb R,+)$ そして $(\Bbb R^2,+)$ 群同型であるため、 $(\Bbb R,+)$ に分割することができます $m$ サブセムグループも、上の仮説に反して $m$。したがって、$(\Bbb R,+)$ 任意の有限数のサブセミグループに分割できます。
完全を期すために、実際にそれを示す回答を追加します $\Bbb R$ に分割することができます $\kappa$ ゼロ以外の枢機卿の追加で閉じられたセット $\kappa\le 2^\omega=\mathfrak{c}$。（もちろん、これは選択公理を使用します。）ハメル基底から始めます。$B=\{b_\xi:\xi<2^\omega\}$ ために $\Bbb R$ 以上 $\Bbb Q$。それぞれについて$x\in\Bbb R\setminus\{0\}$ ユニークな有限があります $B_x\subseteq B$ そのような $x$ のメンバーの非ゼロ有理係数との線形結合です。 $B_x$; しましょう$B_x^+$ のメンバーのセットである $B_x$その線形結合の係数は正です。それぞれについて$\eta<2^\omega$ しましょう
$$A_\eta=\big\{x\in\Bbb R:\min\{\xi<2^\omega:b_\xi\in B_x\}=\eta\text{ and }b_\eta\in B_x^+\big\}\,;$$
$b_\eta\in A_\eta$、 そう $A_\eta\ne\varnothing$、および $A_\eta$ 追加中は明らかに閉鎖されています。
さあ、 $\kappa\le 2^\omega$ 枢機卿になり、 $$D=\Bbb R\setminus\bigcup_{\xi<\kappa}A_\xi\,.$$
明らかに $\{D\}\cup\{A_\xi:\xi<\kappa\}$ のパーティションです $\Bbb R$ に $\kappa$ パーツの場合 $\kappa\ge\omega$、そしてに $\kappa+1$ パーツの場合 $\kappa<\omega$、そしてそれを示すことだけが残っています $D$追加中は閉鎖されます。だが$x\in D$ どちらか
- $\min\{\xi<2^\omega:b_\xi\in B_x\}\ge\kappa$、または
- $\eta=\min\{\xi<2^\omega:b_\xi\in B_x\}<\kappa$ そして $b_\eta\notin B_x^+$、または
- $x=0$、
そして、これらの条件を満たす実数のセットが加算によって閉じられていることを簡単に確認できます。