置換による制限
問題を減らすためにさまざまな置換を使用する積分に出くわすことがよくあります。一般的なものは三角関数の置換です。
代用する場合 $x=\sin \theta$、制限していませんか $x$の値 $[-1,1]$？
簡単な例を次に示します。
$$\int_2^3 xdx$$
この場合、 $x$ 常に $[2,3]$。そうです$x=\sin \theta$ ここで有効な置換？
一般に、無期限積分での置換は、置換された変数が新しい変数と同じ範囲を持っている場合にのみ有効であると言いたいです。
回答
セットに対して定積分を「実行」します。ある意味で、「定積分」は、のサブセットを取り込む手順と考えることができます。$\mathrm{R}$ そして、その間隔の曲線とx軸の下にある関数の面積を示します。
変数の変更を行うときは、統合する関数を変更するため、統合するセットも変更する必要があります。セットを統合している場合$[a,b]$ 以下の形式に置き換えます。
$$ x= g(t)$$
次に、の新しいドメインで $t$、ドメインは次のように変換されます。
$$ [a,b] \to [ g^{-1} (a) , g^{-1} (b) ] $$
't'が変化すると、変化すると考えることができます $g(t)$これにより、出力が変化します。そして、そうです、そうです、私たちは次の場合にのみ置換を行うことができます$g(t)$ 統合していた元のドメインにまたがることができます。
上記のことを考えると、変数の変更を行う場合は、まず、境界を適切に変更できるように、統合する新しい関数の明確に定義された逆関数があることを確認する必要があります。
特定のケースでは、私たちが見つけることができないようです $ \sin^{-1} (2)$ または $ \sin^{-1} (3)$実数のセットに制約されている間。したがって、この場合、その置換は実行可能ではありません。