直交行列を見つけることは可能ですか？ $V\in M_n(\Bbb R)$ st $A=VDV^T$ のどの列にも比例しない列を持つ $U$？
しましょう $A\in M_n(\Bbb R)$ （厳密に）以下の対称行列である $n$異なる固有値。以来$A$ 対角化可能であるため、次のように記述できます。 $A=UDU^T$ どこ $U\in M_n(\Bbb R)$ 直交していて $D\in M_n(\Bbb R)$ 対角です。
質問：
直交行列を見つけることは可能ですか？ $V\in M_n(\Bbb R)$ st $A=VDV^T$ の少なくとも1つの列が $V$ のどの列にも比例しません $U$？
私の考え：
少ないという事実は $n$ 明確な固有値は、そのようなものを見つけることが可能であることを保証します $V$そうでなければ、それは不可能でしょう。
が少ないので $n$ 異なる固有値、固有空間があります $E_{\lambda'}$ 固有値に対応 $\lambda'$ st $\dim\left(E_{\lambda'}\right)=k\geqslant 2$。
しましょう $\{e_1,\ldots,e_k\}$ 固有空間の正規直交基底である $E_{\lambda'}$ で1つの平面を観察しましょう $\Bbb R^n$ たとえば、 $M=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}$。
しましょう $f_1=\frac{e_1+e_2}{\left\|e_1+e_2\right\|}$。次に$f_2\in M$ （同じ平面内の）別の単位ベクトルですst $f_1\perp f_2$。
実際、グラム・シュミットを次のように書かれた任意の基準に適用することができます。$\{\alpha e_1+\beta e_2,\gamma e_1+\delta e_2\},\alpha,\beta,\gamma,\delta\in\Bbb R$。
回転させても同じ結果が得られると思いました $e_1$ そして $e_2$ 飛行機の中で $M$ ある角度で $\varphi\ne k\pi,k\in\Bbb Z$。
私の声明のこの部分が当てはまるなら、もちろん、 $\{f_1,f_2,e_3,\ldots,e_k\}$ の正規直交基底でもあります $M$。私はこれが帰納的にどんな人にも当てはまると信じています$M\leqslant E_{\lambda'}$、 どこ $2\leqslant\dim M\leqslant\dim E_{\lambda'}$。
声明の検証とそれを簡潔に（不）証明する方法についてのアドバイスをお願いできますか？
前もって感謝します！
回答
答えはイエスです。
次のアプローチをお勧めします。まず、注意してください$$ A = VDV^T = UDU^T \implies\\ VDV^T = UDU^T \implies\\ U^TVDV^TU = U^TUDU^TU \implies\\ (U^TV) D(U^TV)^T = D. $$ それを念頭に置いて、 $W$ 直交行列を示します $W = U^TV$。我々は持っています$$ WDW^T = D \implies WD = DW. $$ 言い換えると、 $W$ は直交行列であり、 $WD = DW$。一度私たちが持っていることを覚えておいてください$W$、 我々は持っています $W = U^TV \implies V = UW$。
さて、 $A$固有値が繰り返されています。これを固有値と呼びます$\lambda$。一般性を失うことなく、$\lambda$ の対角エントリの中で最初に来る $D$、 そして書く $$ D = \pmatrix{\lambda I_k & 0\\0 & D'} $$ どこ $I_k$ サイズです $k$ 単位行列（ $k \geq 2$）および $D'$対角線でもあります。私はそれを主張します$W_1$あります $k \times k$ 直交行列 $W_2$ 対角線 $\pm1$の次に、ブロック行列 $$ W = \pmatrix{W_1 & 0\\0 & W_2} $$ 直交し、満足します $WD = DW$。私たちの選択のためにそれを規定しましょう$W$、 $W_1$ ゼロエントリはありません。
さて、のエントリに注意してください $W$ の列の内積です $U$ の列を持つ $V$。それを念頭に置いて、の最初の列が$W$ 持っている $k \geq 2$ ゼロ以外のエントリ、の最初の列 $V$の列の倍数ではありません$U$。