第一基本形式

Aug 21 2020

Wolfram MathWorldは、放物面とその微分パラメータを次のように定義しています。

\begin{align*} P&=\left(\frac{\partial x}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{du}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{du}\right)^2= \\ &=1+\frac{1}{4u} \\ Q&=\frac{\partial x}{du}\frac{\partial x}{dv}+\frac{\partial y}{du}\frac{\partial y}{dv}+\frac{\partial z}{du}\frac{\partial z}{dv}= \\ &=\frac{1}{2\sqrt{u}}(\cos v - \sin v) \\ R&=\left(\frac{\partial x}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{dv}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{dv}\right)^2= \\ &=u \\ \end{align*}

さて、これらのパラメータが係数に対応する場合 $E$$F$ そして $G$ここで説明しますが、どうやって彼らが表現にたどり着いたのかわかりません$Q$

回答

3 TedShifrin Aug 21 2020 at 03:35

他のコメント/回答にもかかわらず、これらの量通常の最初の基本形式です。Wikiリンクが定義していることに注意してください$g_{ij} = X_i\cdot X_j$。これらは通常です$E,F,G$、およびそれらは、独立変数に関するパラメーター化の導関数の内積です。あなたの場合、最初のパラメータは$u$ 2番目のパラメータは $v$、そして私たちは実際に持っています \begin{align*} P&=X_u\cdot X_u=E,\\ Q&=X_u\cdot X_v=F, \quad\text{and} \\ R&=X_v\cdot X_v=G. \end{align*} Wolframが異なる文字を使用している理由がわかりません。

さらに参照したい場合は、私の微分幾何学のテキストをチェックしてください。

1 FedericoFallucca Aug 21 2020 at 02:25

最初の基本形式は、周囲空間に含まれる表面を考慮すると、表面のある点における接空間の内積です。 $\mathbb{R}^3$。放物面がある場合$z=b(x^2+y^2)$、次に、接空間を生成するサーフェスの接ベクトルは次のようになります。

$v=[1,0, 2bx]$

そして

$w=[0,1,2by]$

この時点で、第一基本形式の係数は次のように計算できます。

$E=\langle v, v \rangle=1+4b^2x^2$

$F=4b^2xy $

$G=1+4b^2y^2$

放物面に関するあなたのリンクでは、議論は放物面の測地線だと思います。