で表される素数 $x^3-21xy^2+35y^3$。
この特別な2次3次曲面で表される素数について私たちは何を知っていますか $x^3-21xy^2+35y^3$？
私の質問は非常に短いことは知っていますが、それについては何もわかりません。また、文献のどこで答えを見つけることができるのかわかりません。
ネットを検索して、2進3次方程式かどうかを確認するプログラムを見つけました。 $f(x, y)=n$解決策があるかどうかはわかりませんが、何も見つかりませんでした。回答がない場合、または私の質問への参照がない場合は、プログラム/エンジンを導入することを歓迎します。
しましょう $\alpha$ 多項式の根になる $x^3-21x-35=0$、そして $K:=\mathbb{Q}(\alpha)$。次に、それを示すのは簡単です$$Norm(x+y\alpha+z\alpha^2)=x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2.$$ そのバイナリ3次形式は $Norm(x+y\alpha)$。
の判別式に注意してください $P(x)=x^3-21x-35$ です $-(4\times(-21)^3+27\times(-35)^2)=3969=3^4\times7^2$、とても判別式 $K$ は正方形なので、循環立方ガロア拡大であるため、次のように結論付けることができます。 $r_1=3$ そして $r_2=0$。ディリクレの単数定理により、次のように結論付けることができます。$\mathcal{O}_K^{\times}=\{\pm1\}\times\mathbb{Z}^2$。また、注意してください$P(x)=x^3-21x-35$ です $7$-アイゼンスタイン、および $P(x-1)=x^3-3x^2+3x-1-21x+21-35=x^3-3x^2-18x-15$ です $3$-エイゼンシュタイン; 結論を出すことができます$\mathcal{O}_K=\mathbb{Z}[\alpha]=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}\alpha\oplus\mathbb{Z}\alpha^2$。
次の質問に対する答えは肯定的ですか？
と仮定する $Norm(a+b\alpha+c\alpha^2)=p$。ユニットはありますか$u \in \mathcal{O}_K^{\times}$ そのような $(a+b\alpha+c\alpha^2)\times u = A+B\alpha$ 一部の整数の場合 $A, B$？と仮定する$a+b\alpha+c\alpha^2$与えられます。乗算後、積を次の線形結合として記述できるような適切な単位を見つけることができますか？$1$、および $\alpha$？の必要なしに$\alpha^2$？
回答
しましょう $\alpha$ のルートになる $x^3-21x+35=0$。そうすれば、形の素数を特徴づけるのは簡単です$$N(x + y\alpha + z\alpha^2) = x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2$$これは、ウィル・ジャジーの答えではすでに理解されていませんでした。
（定理）素数$p\neq 3,7$ 上記の3次形式で表すことができます $p\equiv \pm 1, \pm 8 \pmod{63}$。
定理の証明：$K$の数体である$x^3-21x+35$。私は次の事実を仮定します：$K$ クラス番号があります $3$、 に含まれます $\mathbb{Q}(\zeta_{63})$。
しましょう $H$ のヒルベルト類体である $K$、その後 $H/\mathbb{Q}$ 程度のアーベルです $9$ （（$H/\mathbb{Q}$ ガロアと任意の位数のグループです $9$ アーベルです）。
- 請求： $H\subset \mathbb{Q}(\zeta_{63})$。これは、円分体の一般的な（しかしよく知られていない）事実に由来します。ここでの答えで証明された次の命題があります：もし$F/\mathbb{Q}(\zeta_m)$ （有限素数で）分岐しておらず、 $F/\mathbb{Q}$ アーベル、その後 $F=\mathbb{Q}(\zeta_m)$。なぜなら$H/\mathbb{Q}$ アーベルであり、この命題を $F=H\mathbb{Q}(\zeta_{63})$ を示す $H\mathbb{Q}(\zeta_{63}) = \mathbb{Q}(\zeta_{63})$、 そう $H\subset \mathbb{Q}(\zeta_{63})$。
- 請求： $H$ に対応 $\{\pm 1,\pm 8\} \subset (\mathbb{Z}/63\mathbb{Z})^\times$。 $H$ 順序のサブグループに対応します $4$ の $(\mathbb{Z}/63\mathbb{Z})^\times = C_6 \times C_6$、そのようなサブグループは一意であり、これが唯一のサブグループです。
最終的に $p\neq 3,7$ として表すことができます $N(x + y\alpha + z\alpha^2)$ iff $p$ の主イデアルに分割 $K$、iff $p$ 完全に分割 $H$、証明を完了します。
に制限する $z=0$立方体の形はもっとトリッキーで、簡単な答えがない可能性があります。場合$\pi(n)$ 素数計数関数を示し、次に
| $p$ | の数 $p \equiv 1, 8, 55, 62 \pmod{63}$ | の数 $p=x^3-21xy^2+35y^3$ |
|---|---|---|
| $\pi(p)\leq 3000$ | 326 | 61 |
| $3001\leq \pi(p)\leq 6000$ | 344 | 42 |
| $6001\leq \pi(p)\leq 9000$ | 326 | 32 |
形の方程式 $N(x+y\alpha)$はトゥエ方程式です。個人ごとに$p$、かどうかをチェックするアルゴリズムがあります $N(x+y\alpha) = p$積分解があります。次のマグマコードは、上記の表で小さいかどうかをチェックします$p$：
R<x> := PolynomialRing(Integers());
f := x^3 -21*x+35;
T := Thue(f);
list := {71, 127, 181, 197, 251, 307, 379, 433, 449, 503, 631, 701, 757, 811};
t := { n : n in list | Solutions(T, n) ne [] };
t
出力します{ 71, 127, 197, 307, 379, 449, 757 }。素数の完全なリスト$p$ と $\pi(p)\leq 9000$ これは次のように書くことができます $p=x^3-21xy^2+35y^3$ です
{71,127,197,307,379,449,757,827,1259,1511,1637,1693,1889,2017,2339,2393,3221,3851,4283,4591,4789,5417,5419,5923,6047,6229,6553,6679,6733,7127,7253,7309,7687,7993,8387,8819,9883,10151,11593,11717,11719,12781,13033,14057,14923,15121,15749,16057,16829,17891,19081,19853,20593,21617,21673,22877,23633,24373,24697,24877,26641,28351,28547,28909,29287,30241,30493,31193,32381,32507,34469,35279,35281,35603,37799,37997,38611,38737,39439,40123,41887,42013,42407,44281,44729,45863,46187,47431,47881,49391,51659,51913,52289,53171,53857,54181,54559,55061,55763,55817,57457,57709,58897,60103,61487,62047,62189,62819,66403,67481,68041,70309,72269,72577,72883,77813,78569,79813,81017,81019,81703,82727,83719,84239,84869,86491,87443,87697,89767,90019,90271,92177,92357,92413,92861}
「本当の」答えではありませんが、コメントするには大きすぎました。電卓やパソコンを使わずに解決策を探していると思いますが、これで洞察が得られるかもしれません。私は次の範囲でクイック検索のみを行いました。$-50\le x\le50$ そして $-50\le y\le50$。
私はいくつかのMathematicaコードを書いて実行しました：
In[1]:=Clear["Global`*"];
\[Alpha] = -50;
\[Beta] = 50;
ParallelTable[
If[TrueQ[PrimeQ[x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3] &&
x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3 >= 2], {x, y, x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3},
Nothing], {x, \[Alpha], \[Beta]}, {y, \[Alpha], \[Beta]}] //. {} ->
Nothing
コードを実行すると、次のようになります。
Out[1]={{{-48, 25, 1066283}, {-48, 49, 6427331}}, {{-47, -21,
7309}, {-47, -15, 127}, {-47, 11, 62189}, {-47, 15, 236377}, {-47,
21, 655579}, {-47, 26, 1178549}, {-47, 30, 1729477}}, {{-46, -17,
9883}, {-46, -15, 1889}, {-46, 27, 1295783}, {-46, 33,
2212433}}, {{-44, -15, 4591}, {-44, 15, 240841}, {-44, 17,
353807}, {-44, 23, 829457}, {-44, 35, 2547341}}, {{-43, -20,
1693}, {-43, 15, 241793}, {-43, 34, 2340001}, {-43, 40,
3605293}, {-43, 45, 4938443}}, {{-41, -18, 5923}, {-41, -15,
6679}, {-41, 17, 351863}, {-41, 23, 812393}, {-41, 45,
4863979}, {-41, 48, 5785543}}, {{-39, -17, 5417}, {-39, 25,
999431}, {-39, 32, 1926217}, {-39, 37, 2834747}, {-39, 43,
4237757}}, {{-38, -15, 6553}, {-38, 9, 35281}, {-38, 41,
3698801}}, {{-37, -15, 6047}, {-37, 9, 37799}, {-37, 10,
62047}, {-37, 16, 291619}, {-37, 21, 616139}, {-37, 39,
3207329}, {-37, 40, 3432547}}, {{-36, 7, 2393}, {-36, 13,
158003}, {-36, 35, 2380069}, {-36, 37, 2761163}, {-36, 43,
4133933}}, {{-34, -15, 3221}, {-34, 7, 7687}, {-34, 27,
1170107}, {-34, 37, 2711017}, {-34, 43, 4063627}}, {{-33, -14,
3851}, {-33, 14, 195931}, {-33, 16, 284831}, {-33, 26,
1047691}, {-33, 34, 2140811}, {-33, 35, 2313613}, {-33, 40,
3312863}, {-33, 49, 5745671}}, {{-32, -15, 307}}, {{-31, 10,
70309}, {-31, 12, 124433}, {-31, 15, 234809}, {-31, 22,
657973}, {-31, 25, 923959}, {-31, 33, 1936943}}, {{-29, -13,
1637}, {-29, -10, 1511}, {-29, 8, 32507}, {-29, 12, 123787}, {-29,
15, 230761}, {-29, 17, 323567}, {-29, 20, 499211}, {-29, 23,
723617}, {-29, 27, 1108477}, {-29, 33, 1896607}, {-29, 38,
2775527}, {-29, 45, 4398211}, {-29, 50, 5873111}}, {{-27, -11,
2339}, {-27, -10, 2017}, {-27, 29, 1310779}, {-27, 34,
2011409}, {-27, 41, 3345679}, {-27, 46, 4586849}, {-27, 50,
5772817}}, {{-26, 5, 449}, {-26, 27, 1069363}, {-26, 33,
1834813}, {-26, 35, 2151899}, {-26, 47, 4822343}}, {{-24, 7,
22877}, {-24, 23, 678637}, {-24, 25, 848051}, {-24, 43,
3700817}, {-24, 47, 4733317}}, {{-23, 5, 4283}, {-23, 6,
12781}, {-23, 11, 92861}, {-23, 21, 524971}, {-23, 26,
929501}, {-23, 29, 1247651}, {-23, 30, 1367533}, {-23, 39,
2798641}, {-23, 50, 5570333}}, {{-22, -9, 1259}, {-22, 9,
52289}, {-22, 15, 211427}, {-22, 19, 396199}, {-22, 21,
517229}, {-22, 25, 824977}, {-22, 45, 4114277}}, {{-19, -8,
757}, {-19, 7, 24697}, {-19, 10, 68041}, {-19, 18, 326537}, {-19,
22, 558937}, {-19, 25, 789391}, {-19, 28, 1074277}, {-19, 33,
1685447}, {-19, 42, 3290057}, {-19, 43, 3513637}, {-19, 48,
4783157}}, {{-18, 5, 7993}, {-18, 11, 86491}, {-18, 41,
3041821}}, {{-17, -6, 379}, {-17, 5, 8387}, {-17, 11, 84869}, {-17,
21, 476659}, {-17, 24, 684559}, {-17, 30, 1261387}, {-17, 35,
1933037}, {-17, 36, 2090719}, {-17, 44, 3667679}}, {{-16, 7,
24373}, {-16, 33, 1619603}}, {{-13, -6, 71}, {-13, 10,
60103}, {-13, 16, 211051}, {-13, 25, 715303}, {-13, 31,
1302841}, {-13, 34, 1689031}, {-13, 36, 1984571}}, {{-12, -5,
197}, {-12, 19, 329309}, {-12, 31, 1283129}}, {{-11, 3,
1693}, {-11, 5, 8819}, {-11, 12, 92413}, {-11, 15, 168769}, {-11,
20, 371069}, {-11, 30, 1151569}, {-11, 35, 1782269}, {-11, 38,
2252753}, {-11, 42, 2999233}, {-11, 47, 4142753}}, {{-9, 2,
307}, {-9, 8, 29287}, {-9, 10, 53171}, {-9, 13, 108107}, {-9, 25,
664271}, {-9, 32, 1339687}, {-9, 35, 1731421}, {-9, 43,
3131477}, {-9, 50, 4846771}}, {{-8, 9, 38611}, {-8, 15,
155413}, {-8, 29, 994391}, {-8, 45, 3529063}}, {{-6, 5, 7309}, {-6,
13, 97973}, {-6, 25, 625409}, {-6, 43, 3015503}, {-6, 47,
3911923}}, {{-4, 3, 1637}, {-4, 7, 16057}, {-4, 27, 750077}, {-4,
33, 1349207}}, {{-3, 1, 71}, {-3, 4, 3221}, {-3, 5, 5923}, {-3, 11,
54181}, {-3, 19, 262781}, {-3, 40, 2340773}, {-3, 44,
3103381}, {-3, 46, 3540041}, {-3, 49, 4268951}}, {{-2, 5,
5417}, {-2, 9, 28909}, {-2, 11, 51659}}, {{-1, 7, 13033}, {-1, 15,
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30241}, {32, 31, 429661}}, {{33, 1, 35279}, {33, 10, 1637}, {33,
16, 1889}, {33, 20, 38737}, {33, 29, 306739}, {33, 34,
610469}, {33, 35, 687637}, {33, 46, 1976309}, {33, 49,
2489759}, {33, 50, 2678437}}, {{34, 23, 87443}, {34, 33,
519553}, {34, 35, 665279}, {34, 45, 1782829}}, {{36, 7,
21617}, {36, 17, 127}, {36, 23, 72577}, {36, 37, 784547}, {36, 43,
1431557}}, {{37, -6, 15121}, {37, 5, 35603}, {37, 6, 30241}, {37,
11, 3221}, {37, 20, 19853}, {37, 30, 296353}, {37, 41,
1156751}}, {{38, 9, 15749}, {38, 31, 330679}}, {{39, -5,
34469}, {39, -2, 55763}, {39, 7, 31193}, {39, 20, 11719}, {39, 22,
35603}, {39, 23, 51913}, {39, 28, 185543}}, {{41, 7, 38737}, {41,
12, 5417}, {41, 13, 307}, {41, 22, 24877}, {41, 43,
1259677}}, {{43, -6, 39439}, {43, -4, 62819}, {43, -1, 78569}, {43,
6, 54559}, {43, 11, 16829}, {43, 21, 5419}, {43, 26, 84239}, {43,
29, 173699}, {43, 39, 782209}, {43, 44, 1312739}}, {{44, -5,
57709}, {44, 3, 77813}, {44, 7, 51913}, {44, 13, 5923}, {44, 25,
54559}, {44, 27, 100493}, {44, 37, 593083}, {44, 45,
1403459}}, {{46, -7, 37997}, {46, -3, 87697}, {46, 33,
303157}, {46, 35, 414611}}, {{47, 1, 102871}, {47, 4, 90271}, {47,
9, 49391}, {47, 10, 40123}, {47, 39, 678761}, {47, 40,
764623}}, {{48, -5, 81017}, {48, 1, 109619}, {48, 5, 89767}, {48,
35, 376417}, {48, 41, 828379}}}
だから、限界がある $-50\le x\le50$ そして $-50\le y\le50$ 我々は気づく $402$ソリューション。私が使用したことを見つけるために：
In[2]:=Clear["Global`*"];
\[Alpha] = -50;
\[Beta] = 50;
f = Total@*Map[Length];
f[ParallelTable[
If[TrueQ[
PrimeQ[x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3] &&
x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3 >= 2], {x, y, x^3 - 21*x*y^2 + 35*y^3},
Nothing], {x, \[Alpha], \[Beta]}, {y, \[Alpha], \[Beta]}] //. {} \
-> Nothing]
Out[2]=402
境界をに拡張すると $-10^3\le x\le10^3$ そして $-10^3\le y\le10^3$ 我々は気づく $92522$ソリューション。境界を拡張すると、再び$-10^4\le x\le10^4$ そして $-10^4\le y\le10^4$ 我々は気づく $6950603$ ソリューション。
の判別式 $x^3 - 21 x + 35$正方形で、多くのものが脱落します。あなたが与える完全なノルム形式によって表される素数は、$$ 1, 5, 8, 11, 23, 25, \pmod{63} $$ $$ 62, 58, 55, 52, 40, 38, \pmod{63} $$
より多くの制限がありますが、最初は明らかではありませんが、それは残基のサブグループです $$ \color{red}{ 1, 8, 55, 62 \pmod{63} } $$ $$x^3+35y^3+1225z^3-105xyz-21xy^2+441xz^2+42x^2z-735yz^2.$$
どのような制限がありますか $z=0$ 誰の推測でもあります。
ご了承ください $x^3 - 21 x + 35$ そして $x^3 - 21 x + 28$ 異なるフィールドを与える
