です $f(x,y)=\frac{xy^3}{x^2+y^6}$ で微分可能 $(0,0)$？[複製]

Question

次の関数はで微分可能ですか？ $(0,0)$？

$$ \ f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy^3}{x^2+y^6} & \text{if } (x,y) \ne (0,0), \\ 0 & \text{if } (x,y) = (0,0). \end{cases} $$

偏導関数は両方とも $0$、次に次の制限を計算しようとしました。

$$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\frac{xy^3}{x^2+y^6}}{\sqrt{x^2+y^2}} = \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{xy^3}{(x^2+y^6) \sqrt{x^2+y^2}}$$

そして、私は立ち往生しました。はさみうちの定理を試しましたが、それでも計算できませんでした。

この制限を計算するにはどうすればよいですか？

Answer 1

それはでさえ継続的ではありません $(0,0)$。ヒント： $f(y^3,y)=\dfrac12$ もし $y\ne0$。

Answer 2

微分可能性は連続性を意味するため、連続性は微分可能性の必要条件であることを思い出してください。$y^3=v \to 0$ 私たちが持っている極座標を使用して

$$\frac{xy^3}{x^2+y^6}=\frac{xv}{x^2+v^2}=\cos\theta\sin \theta$$