どうですか $S(\rho)=H(p_{i})+\sum_{i}p_{i}S(\rho_{i})\le \log(d)$ 可能であれば $\rho_{i}$ 純粋な状態ではありませんか?
量子相対エントロピーを使用してこれを証明する方法を知っています。しかし、この証明があっても、これがどのように現れるかについてはまだ混乱しています。
2つの状態を生成するソースがあるとします $\rho_1$ そして $\rho_{2}$ それぞれ半分の確率で、両方とも混合状態です。 $S(\rho_i)>0$それらのそれぞれのために。ヒルベルト空間の次元は$2$。
どのようにすることができます $S(\rho)=H(p_{i})+\sum_{i}p_{i}S(\rho_{i})\le \log(d)$、 とすれば $H(p_{i})=1$ そして $S(\rho_i)>0$、 とすれば $\log(d)=\log(2)=1?$
私は実際の建設で明らかな何かが欠けていると思います $\rho$、何かがバウンドしているという点で $H(p_{i})$ 1から離れています。これは直交サポートと関係があると思います。 $S(\rho) \le H(p)+\sum_{i}p_iS(\rho_{i})$ それらが直交していない場合。
回答
私はあなたが一般的な(必ずしも純粋ではない)状態を考慮することを意図したと思います $\rho_1,\rho_2$ のではなく $|\psi\rangle\langle\psi|$ そして $\lvert\phi\rangle\langle \phi\rvert$ので、私は「少し変更し、質問を考えてみましょう方法です$$S(\rho)= H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)\le \log d$$ 状態のために可能 $\rho=\sum_i p_i\rho_i$ と $H(p)=\log d$?「」
最初に気付くのは、一般的に、 $S(\rho)\le H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)$。これはアイデンティティではありません$\rho_i$直交サポートがあります。あなたはまた持っています$S(\rho)\le\log d$。これらから、あなたは暗示することはできません$H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)\le \log d$あなたが観察したように、これは一般的には確かに真実ではありません。
いつ $\rho_i$ 直交サポートがありますか$S(\rho)= H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)$、したがって、あなたも持っている必要があります $H(p)+\sum_i p_i S(\rho_i)\le \log d$。では、なぜ矛盾がないのでしょうか。さて、$H(p)=\log d$。これは、あなたが州を扱っていることを意味します$\rho$ それはバランスの取れた混合物です $d$直交サポートのあるさまざまな状態。取得する唯一の方法$d$ 直交サポートのある状態 $d$-次元空間とは、それぞれに単位ランクがあることです。つまり、すべて純粋であるため、$S(\rho_i)=0$ すべてのために $i$。